AMC 10 · 2023 · #6

학년 4 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

recursive-sequenceparitypattern-recognitionmodular-arithmeticlucas-numbers pattern-recognitionsystematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: parityrecursive-sequence

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

L₁ = 1, L₂ = 3, 그리고 L_n+2 = L_n+1 + L_n 으로 정의된 루카스형 수열에서 L₁, L₂, …, L₂023 중 짝수인 항이 몇 개인지 세는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

673

(B)

1011

(C)

675

(D)

1010

(E)

674

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

2023 개 항의 홀짝을 일일이 따지는 것은 불가능하니, 도구 #9(더 쉬운 문제)로 첫 몇 개 항만 손으로 홀짝을 적습니다. 처음 두 항의 (홀, 홀) 짝이 다시 나타나는 순간 도구 #5(패턴 찾기)가 작동합니다 — 그 뒤로는 같은 블록이 영원히 반복됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 홀짝 기록을 깔끔하게 정리해 줍니다. 주기를 알고 나면 원래 문제는 "2023 안에 블록의 끝자리가 몇 개 들어가나" 라는 한 줄 나눗셈으로 줄어듭니다. 도구 #13(대수)은 필요 없습니다 — 홀짝 규칙만으로 끝납니다.

1STEP 1

두 홀수에서 시작해 홀+홀=짝, 홀+짝=홀로 홀짝을 적으면 홀, 홀, 짝, 홀, 홀, 짝, 홀, 홀 로 이어집니다.

n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 ; L_n & 1 & 3 & 4 & 7 & 11 & 18 & 29 & 47 ; 홀짝 & 홀 & 홀 & 짝 & 홀 & 홀 & 짝 & 홀 & 홀

2STEP 2

(L₄, L₅) = (홀, 홀) 이 (L₁, L₂) 와 같고 홀짝은 앞 두 항만으로 정해지니, (홀, 홀, 짝)이 주기 3으로 반복됩니다.

홀, 홀, 짝_블록 홀, 홀, 짝_블록 홀, 홀, 짝_블록 …

3STEP 3

블록 안 짝수는 세 번째 자리라, L_n이 짝수인 것은 n이 3의 배수일 때뿐 — 이제 2023까지 3의 배수만 세면 됩니다.

L_n 이 짝수 ⇔ n ∈ {3, 6, 9, 12, …}

4STEP 4

3 × 674 = 2022는 되지만 3 × 675 = 2025는 넘으니, 2023까지 3의 배수, 곧 짝수 항은 674개 — 정답 (E).

2023 ÷ 3 = 674 나머지 1 → 674 개 짝수 항 → (E)

정답

674

어림 점검: 2023 개 중 대략

\frac{1}{3}

이 짝수여야 하고

\frac{2023}{3}

≈ 674.3 이니, 답은 674 근방이 자연스럽습니다 — (E) 674 와 맞습니다. (B) 1011 은 홀수 자리 항을 잘못 센 결과, (C) 675 는 올림 실수, (D) 1010 은

\frac{2020}{2}

처럼 3 대신 2 로 잘못 나눈 결과입니다. 짝수 자리 자체도 확인됩니다 — L₃ = 4 (짝 ✓), L₆ = 18 (짝 ✓), L₉ = L₈ + L₇ = 47 + 29 = 76 (짝 ✓).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴·나눗셈만 알면 풀 수 있어요 — 첫 몇 항의 홀짝만 적어 보면 (홀, 홀, 짝) 세 칸짜리 블록이 보이고, 그 블록이 2023 안에 몇 번 들어가는지 나눗셈 한 번으로 끝납니다.

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