AMC 10 · 2024 · #1

학년 7 arithmeticalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

multi-digit-arithmeticplace-valuepattern-recognition identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticorder-of-operations

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

9901 · 101 - 99 · 10101 의 값을 구해 다섯 개의 보기 중 하나와 맞추세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

~20

(C)

~200

(D)

~202

(E)

~2020

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대칭 이용하기 / 변형하기

9901 · 101 과 99 · 10101 을 그대로 곱하면 다섯 자리 수 두 개가 나와 실수하기 쉬워요. 대신 9901 = 99 · 100 + 1, 10101 = 101 · 100 + 1 처럼 두 큰 수가 모두 "다른 인수 × 100 더하기 1" 구조로 깔끔하게 쪼개진다는 점을 활용합니다. 이것이 도구 #16(변형하기)이 노리는 대칭이에요 — 식을 다시 써서 큰 항이 통째로 상쇄되게 만드는 거죠. 도구 #4(변수 도입하기)로 a = 99, b = 101 이라 두면 그 대칭이 한눈에 보이고, 전체 문제가 한 줄짜리 대수 계산으로 줄어듭니다.

1STEP 1

a = 99, b = 101 로 두면 큰 수는 100a + 1, 100b + 1 이 됩니다.

a = 99, b = 101, 9901 = 99 · 100 + 1 = 100a + 1, 10101 = 101 · 100 + 1 = 100b + 1

2STEP 2

원래 식을 (100a + 1) · b - a · (100b + 1) 로 다시 쓰면 100 인수가 나란히 놓입니다.

9901 · 101 - 99 · 10101 = (100a + 1) · b - a · (100b + 1)

3STEP 3

양쪽을 전개하면 100ab + b - 100ab - a 가 되어 100ab 가 부호만 반대로 두 번 나옵니다.

(100a + 1) · b - a · (100b + 1) = 100ab + b - 100ab - a

4STEP 4

두 100ab 항이 상쇄되고 b - a = 101 - 99 만 남아 정답은 (A) 입니다.

100ab + b - 100ab - a = b - a = 101 - 99 = 2 → (A)

정답

보기 값들이 2, 20, 200, 202, 2020 으로 점점 커지는 형태인 것 자체가 "상쇄를 알아챘냐" 를 묻는 출제 의도입니다. 직접 곱해도 확인됩니다: 9901 · 101 = 1,000,001, 99 · 10101 = 999,999, 따라서 1,000,001 - 999,999 = 2. 두 거대한 곱이 정확히 2 만큼 차이 나는데, 이 값이 b - a = 101 - 99 과 정확히 같으므로 (A) 가 유일하게 일관된 답입니다.

💡핵심 정리

커 보이는 수들도 종종 작은 구조를 숨기고 있어요. 99 와 101 을 a, b 로 부르면 짝이 맞는 100ab 가 보이고, 그 부분이 상쇄되면서 AMC 10 1번이 7학년 분배법칙 문제로 변신합니다!

비슷한 유형 더 풀어보기