AMC 10 · 2024 · #11

학년 8 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

perfect-squaresfactorssystematic-enumeration convert-to-algebrasystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

√(n² - 49) = m 을 만족하는 정수 순서쌍 (m, n) 의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

$~\text{infinitely many}$

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 정리된 목록 만들기

양변을 제곱하면 √(n² - 49) = m 이 n² - m² = 49 로 바뀝니다. 도구 #2(정리된 목록 만들기)는 정수해를 찾는 자연스러운 방법입니다 — |n| ≥ 7 인 작은 n 값부터 차례로 올라가면서 n² - 49 가 완전제곱수인지 확인합니다. 목록 안에서 매번 "이게 완전제곱수인가?" 를 묻는 동작 자체가 도구 #6(추측하고 확인하기)입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 중복 작업을 줄입니다: 방정식에는 n² 만 들어가므로 양의 n 해마다 음의 n 쌍둥이가 따라옵니다. 따라서 양수 쪽만 세고 마지막에 두 배로 늘리면 됩니다.

1STEP 1

양변을 제곱해 근호를 없앱니다: √ 는 m 과 같은 음이 아닌 값을 주므로 m ≥ 0, 제곱은 안전합니다.

√(n² - 49) = m → n² - 49 = m²

2STEP 2

탐색으로 바꿉니다: n² - 49 가 완전제곱수가 되는 정수 n 을 찾되, 근호가 |n| ≥ 7 을 강제하므로 n = 7 부터 시작합니다.

n² - 49 = m² 인 정수 m ≥ 0 가 존재, 단 |n| ≥ 7

3STEP 3

n=7,8,… 시험: 2n-1 ＞ 49 (n≥26)이면 제곱수 불가, n = 7 과 n = 25 만 성립.

n & n² - 49 & 완전제곱? ; 7 & 0 & 예, m=0 ; 8 & 15 & 아니오 ; 9 & 32 & 아니오 ; 10 & 51 & 아니오 ; vdots & vdots & vdots ; 24 & 527 & 아니오 ; 25 & 576 = 24² & 예, m=24

4STEP 4

음의 n 으로 대칭: n² 만 나오므로 n 과 -n 이 짝을 이뤄, 양의 n 두 해가 네 순서쌍으로 늘어납니다.

(m, n) ∈ {(0, 7), (0, -7), (24, 25), (24, -25)} → 4 개 → (D)

정답

네 쌍을 원래 방정식에 직접 대입해 확인합니다. (m, n) = (0, 7): √(49 - 49) = √(0) = 0 = m. 맞음. (m, n) = (0, -7): √((-7)² - 49) = √(0) = 0 = m. 맞음. (m, n) = (24, 25): √(625 - 49) = √(576) = 24 = m. 맞음. (m, n) = (24, -25): √(625 - 49) = 24 = m. 맞음. 네 쌍 모두 만족하고, n ＜ 26 의 탐색 한계로 더 큰 n 해가 없음이 보증되므로 정답은 정확히 4 — 즉 (D).

💡핵심 정리

제곱근이 정수가 되어야 한다면, 양변을 제곱한 뒤 "어떤 정수가 안쪽 식을 완전제곱수로 만드는가?" 를 찾아보세요. 연속한 제곱수의 간격으로 탐색 범위를 잘라 두면, 끝없어 보이던 문제가 짧은 유한 목록 하나로 정리됩니다.

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