AMC 10 · 2024 · #13

학년 8 geometry-2dcounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

coordinate-geometryreflection-symmetrysystematic-enumerationcombinations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: coordinate-geometryreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

네 가지 평면 변환이 주어집니다. T₁ = 오른쪽으로 2 만큼 평행이동, T₂ = 원점 중심 반시계방향 90^° 회전, T₃ = x 축 대칭, T₄ = 원점 중심 2 배 확대. 두 변환이 "교환된다(commute)"는 것은 적용 순서를 바꿔도 결과가 같다는 뜻입니다. 서로 다른 두 변환을 고르는 C(4, 2) = 6 쌍 중 교환되는 쌍은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

문제가 이미 "C(4, 2) = 6 쌍 중 몇 개" 라는 유한한 묶음과 예/아니오 조건을 직접 알려줍니다. 이건 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 신호 — 모든 쌍을 적고, 각각을 판정하고, 예의 개수를 세면 끝납니다. 판정 도구는 #13(대수로 바꾸기). 각 변환을 좌표식으로 적어두면 "두 합성이 같은가" 라는 질문이 "두 식이 모든 (x,y) 에서 일치하는가" 라는 대수 비교로 바뀝니다. 그림으로 6쌍을 다 따라가면 느리고 실수하기 쉬운데, 좌표식이면 각 쌍을 한 줄로 처리할 수 있습니다.

1STEP 1

각 변환을 좌표식으로 옮기면, 두 변환의 합성이 대입 한 번으로 끝납니다.

T₁(x,y) = (x+2, y), T₂(x,y) = (-y, x), T₃(x,y) = (x, -y), T₄(x,y) = (2x, 2y)

2STEP 2

6 쌍을 번호 순으로 빠짐없이 적고, 각 쌍을 두 순서로 (x,y)에 합성해 비교합니다.

검사할 쌍: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}

3STEP 3

쌍 {1,2}: 먼저 평행이동하면 그 이동이 회전과 함께 돌아가 두 순서가 달라지므로 교환되지 않습니다.

T₂(T₁(x,y)) = T₂(x+2, y) = (-y, x+2) ; T₁(T₂(x,y)) = T₁(-y, x) = (-y+2, x) ; (-y, x+2) ≠ (-y+2, x) → 교환 X

4STEP 4

쌍 {1,3}: 평행이동은 x만, 대칭은 y만 건드려 서로 다른 좌표에 작용하므로 교환됩니다.

T₃(T₁(x,y)) = T₃(x+2, y) = (x+2, -y) ; T₁(T₃(x,y)) = T₁(x, -y) = (x+2, -y) ; 같음 → 교환 O

5STEP 5

쌍 {1,4}: 원점 중심 확대는 2칸 이동까지 늘리지만 평행이동은 그렇지 않아 교환되지 않습니다.

T₄(T₁(x,y)) = T₄(x+2, y) = (2x+4, 2y) ; T₁(T₄(x,y)) = T₁(2x, 2y) = (2x+2, 2y) ; (2x+4, 2y) ≠ (2x+2, 2y) → 교환 X

6STEP 6

쌍 {2,3}: 둘 다 두 좌표를 모두 건드리고, 두 순서의 결과가 서로 다른 점이 되어 교환되지 않습니다.

T₃(T₂(x,y)) = T₃(-y, x) = (-y, -x) ; T₂(T₃(x,y)) = T₂(x, -y) = (-(-y), x) = (y, x) ; (-y, -x) ≠ (y, x) → 교환 X

7STEP 7

쌍 {2,4}: 둘 다 원점을 고정하고, 2배 확대가 회전의 자리바꿈 사이를 미끄러져 통과하므로 교환됩니다.

T₄(T₂(x,y)) = T₄(-y, x) = (-2y, 2x) ; T₂(T₄(x,y)) = T₂(2x, 2y) = (-2y, 2x) ; 같음 → 교환 O

8STEP 8

쌍 {3,4}: 대칭은 y에 -1을, 확대는 두 좌표에 2를 곱하고 상수 곱은 순서가 무관하므로 교환됩니다.

T₄(T₃(x,y)) = T₄(x, -y) = (2x, -2y) ; T₃(T₄(x,y)) = T₃(2x, 2y) = (2x, -2y) ; 같음 → 교환 O

9STEP 9

여섯 쌍 중 교환되는 것은 {1,3}, {2,4}, {3,4} — 모두 세 쌍이므로 정답은 (C).

교환되는 쌍 = {{1,3}, {2,4}, {3,4}}, 개수 = 3 → (C)

정답

교환되는 쌍 각각을 구체적인 점으로 다시 확인해 봅시다. (x,y) = (3, 5). 쌍 {1,3}: T₃ ° T₁ 은 (5, -5), T₁ ° T₃ 도 (5, -5) — 일치. 쌍 {2,4}: T₄ ° T₂ 는 (-10, 6), T₂ ° T₄ 도 (-10, 6) — 일치. 쌍 {3,4}: T₄ ° T₃ 는 (6, -10), T₃ ° T₄ 도 (6, -10) — 일치. 교환되지 않는다고 한 {1,2} 도 점검: T₂ ° T₁ 은 (-5, 5) 인데 T₁ ° T₂ 는 (-3, 3) — 분명히 다릅니다. 수치 점검과 대수 결과 모두 3 쌍으로 일치.

💡핵심 정리

작은 묶음에서 "규칙을 만족하는 것이 몇 개" 냐고 묻는 문제는 모든 경우를 빠짐없이 적고 하나씩 판정하기 — 그리고 기하 변환은 좌표식으로 옮겨두면 "순서를 바꿔도 같은가" 가 짧은 식 두 줄의 비교로 끝납니다.

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