AMC 10 · 2024 · #15

학년 8 number-theoryalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

perfect-squaresfactorsunits-digit-trackingsystematic-enumeration convert-to-algebraunits-digit-trackingcasework ↑ 선수 지식: perfect-squaresprime-factorizationmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

M + 1213 과 M + 3773 이 모두 완전제곱수가 되도록 하는 가장 큰 정수 M 을 찾고, 그 M 의 일의 자리를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

"두 수가 모두 완전제곱수"라는 말은 미지의 두 제곱수와 그 사이의 고정된 차이를 가리키는 문장 — 정확히 도구 #13(대수로 바꾸기)의 신호입니다. 두 제곱수에 a², b² 이라는 이름을 붙이고 빼면 M 이 사라지고, b² - a² = 2560 인 정수 쌍 (a,b) 문제로 바뀝니다. 제곱의 차는 (b-a)(b+a) = 2560 으로 인수분해되어, 제곱수 문제가 "2560 의 인수쌍 문제"로 변신합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 깔끔하게 둘로 나눠줍니다 — 먼저 알맞은 인수쌍으로 a 를 구하고(M 을 최대화하려면 가장 한쪽으로 치우친 쌍), 그다음 a 에서 일의 자리 산수만 써서 a² - 1213 의 일의 자리를 뽑아냅니다.

1STEP 1

두 제곱수를 a², b² 로 놓고 빼면 M 이 사라지고 고정된 차 2560 만 남아요.

b² - a² = (M+3773) - (M+1213) = 2560

2STEP 2

이를 (b-a)(b+a) = 2560 으로 인수분해; 같은 홀짝에 곱이 짝수이니 둘 다 짝수여야 해요.

(b-a)(b+a) = 2560, b-a ≡ b+a (mod 2)

3STEP 3

짝수 인수를 가장 멀리 벌리면 2 × 1280, 따라서 b = 641, a = 639.

b - a = 2, b + a = 1280 → b = 641, a = 639

4STEP 4

일의 자리는 일의 자리만으로 결정: 9² 은 1 로 끝나고 1213 의 3 을 빼면 일의 자리 8.

M ≡ a² - 1213 ≡ 9² - 3 ≡ 1 - 3 ≡ -2 ≡ 8 (mod 10) → (E)

정답

끝에서 끝까지 대수로 한 번 더 확인합시다. a = 639 이면 M = 639² - 1213 = 408,321 - 1,213 = 407,108, 그 일의 자리는 정말 8. 다른 조건도 점검: M + 3773 = 407,108 + 3,773 = 410,881 = 641². 두 조건 모두 만족하고 일의 자리는 (E) 와 일치. 최대성 확인: 2560 의 다른 짝수 인수쌍 — 예를 들어 4 × 640 — 은 a = 318 ＜ 639 라 M 이 더 작아지므로 2 × 1280 이 최적임이 확인됩니다.

💡핵심 정리

두 완전제곱수의 차이가 고정되어 있을 때는 그 차이를 인수분해하세요 — 고른 인수쌍이 곧 b - a = x, b + a = y 라는 연립방정식이 되어 두 제곱근을 한 번에 풀어줍니다. 한쪽으로 치우친 쌍일수록 제곱수가 더 커집니다.

비슷한 유형 더 풀어보기