AMC 10 · 2024 · #17

학년 8 probabilityalgebra

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsystematic-enumerationlinear-equations-one-var systematic-enumerationcaseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basicfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 판 두 선승제 플레이오프에서 1차전은 A팀 홈(승률

\frac{2}{3}

), 2·3차전은 B팀 홈(A팀의 원정 승률 p)에서 진행됩니다. 각 경기 결과는 독립이고, 어느 한 팀이 2 승을 거두는 순간 시리즈가 끝납니다. A팀이 플레이오프에서 우승할 확률이

\frac{1}{2}

이고 p 가

\frac{1}{2}

(m - √(n)) 의 형태로 (양의 정수 m, n) 표현될 때, m + n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 정리된 목록 만들기

세 판 두 선승제는 가능한 경기 진행이 매우 적습니다. 그래서 도구 #2(정리된 목록 만들기)가 첫 수입니다 — A가 B보다 먼저 2 승을 거두는 경기 순서를 빠짐없이 적고, 거기서 멈춥니다. 손으로 셀 만한 길이라 세 가지 — AA, ABA, BAA — 가 전부입니다. 각 순서의 확률을 p 의 식으로 쓰고 나면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 이어받습니다: 세 확률을 더해 $\frac{1}{2}$ 과 같다고 놓으면 p 에 대한 이차방정식이 나옵니다. 이차방정식의 두 근 중 [0,1] 밖의 것은 도구 #3(가능성 지우기)으로 떨어내고, p = $\frac{1}{2}$ (4 - √(10)) 만 남깁니다 — 문제가 요구한 형태와 정확히 맞습니다.

1STEP 1

2승 순간 시리즈가 끝나므로 A의 우승 순서는 서로 배반인 AA, ABA, BAA 세 가지뿐.

A의 우승 경기 순서: {AA, ABA, BAA}

2STEP 2

1차전 홈( $\frac{2}{3}$ ), 2·3차전 원정(p)을 독립 곱셈하면 2p/3, 2p(1-p)/3, p²/3.

P(AA) =

\frac{2}{3}

· p = 2p/3, P(ABA) =

\frac{2}{3}

·(1-p)· p = (2p(1-p))/3, P(BAA) =

\frac{1}{3}

· p · p = p²/3

3STEP 3

세 확률의 합을 $\frac{1}{2}$ 로 놓고 분모를 없애면 2p² - 8p + 3 = 0.

2p/3 + (2p(1-p))/3 + p²/3 =

\frac{1}{2}

→ 4p + 4p - 4p² + 2p² = 3 → 2p² - 8p + 3 = 0

4STEP 4

근의 공식으로 풀면 √40 = 2√10 이 되어 p = (4 ± √(10))/2.

p = (8 ± √(64 - 24))/4 = (8 ± √(40))/4 = (8 ± 2√(10))/4 = (4 ± √(10))/2

5STEP 5

양의 근은 1을 넘으므로 p = (4 - √(10))/2 만 유효한 확률, 곧 m = 4, n = 10.

p = (4 - √(10))/2 =

\frac{1}{2}

(4 - √(10)) → m = 4, n = 10

6STEP 6

p 를 $\frac{1}{2}$ (m - √(n)) 에 맞추면 m = 4, n = 10 이므로 m + n = 14.

m + n = 4 + 10 = 14 → (E)

정답

p = (4 - √(10))/2 를 다시 대입해 확인합니다. 수치로 p ≈ 0.4189 이므로 P(AA) ≈

\frac{2}{3}

(0.4189) ≈ 0.2793, P(ABA) ≈

\frac{2}{3}

(0.4189)(0.5811) ≈ 0.1623, P(BAA) ≈

\frac{1}{3}

(0.4189)² ≈ 0.0585. 합은 0.2793 + 0.1623 + 0.0585 ≈ 0.5001 ≈

\frac{1}{2}

. 조건이 성립합니다. 부호 점검:

\frac{2}{3}

＞

\frac{1}{2}

이므로 A의 홈 이점만으로도 이미 50% 를 넘어섰고, 전체 승률을

\frac{1}{2}

로 끌어내리려면 원정 승률 p 가

\frac{1}{2}

보다 눈에 띄게 작아야 합니다 — 0.42 라는 값이 그 그림과 정확히 일치합니다. 답 (E) 14 가 맞습니다.

💡핵심 정리

짧은 시리즈는 가능한 경기 순서가 짧다 — 다 적어 확률을 더하면, 미지의 확률이 이차방정식 하나로 풀려 나옵니다. [0,1] 이라는 확률의 규칙이 두 근 중 옳은 쪽을 골라줍니다.

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