AMC 10 · 2024 · #2

학년 8 algebrarate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

linear-equations-two-varsystems-of-equationsrateformula-substitution convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

등산 시간을 추정하는 모델이 T = aL + bG 입니다. 여기서 L 은 등산로 길이(마일), G 는 고도 상승(피트), T 는 시간(분)이고 a, b 는 미지의 상수입니다. 서로 다른 두 등산로가 둘 다 69 분 걸립니다 — 하나는 1.5 마일에 800 피트 상승, 다른 하나는 1.2 마일에 1100 피트 상승. 같은 모델로 4.2 마일·4000 피트 상승 등산로의 T 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

240

(B)

246

(C)

252

(D)

258

(E)

264

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

미지 상수 두 개를 가진 공식과 데이터 두 개가 주어진 전형적인 도구 #13(대수로 바꾸기) 상황입니다 — 각 등산로를 일차방정식 하나로 옮긴 뒤 2× 2 연립방정식을 풉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다: (i) 등산로 1·2에서 상수 a, b 를 복원하고, (ii) 그 상수를 T = aL + bG 에 대입해 목표 등산로의 시간을 계산. 두 시나리오 모두 T = 69 로 같다는 점 덕분에 두 식을 빼면 T 가 사라지고 a 와 b 사이의 한 줄 관계식이 바로 나옵니다.

1STEP 1

첫 작은 문제: 각 등산로의 (L, G, T) 를 T = aL + bG 에 대입해 일차방정식 하나씩 세웁니다.

1.5a + 800b = 69 & (등산로 1) ; 1.2a + 1100b = 69 & (등산로 2)

2STEP 2

두 식이 같은 시간이므로 빼면 상수가 사라지고 a = 1000b 만 남습니다.

1.5a + 800b = 1.2a + 1100b → 0.3a = 300b → a = 1000b

3STEP 3

a = 1000b 를 등산로 1에 대입하면 2300b = 69, 따라서 b = $\frac{3}{100}$ , a = 30.

1.5(1000b) + 800b = 69 → 2300b = 69 → b =

\frac{3}{100}

, a = 1000b = 30

4STEP 4

둘째 작은 문제: 상수와 새 등산로 (4.2, 4000) 을 모델에 대입해 T = 246 을 얻습니다.

T = 30(4.2) +

\frac{3}{100}

(4000) = 126 + 120 = 246 → (B)

정답

246

구한 상수를 등산로 2에 다시 넣어 확인: 1.2(30) + 1100(0.03) = 36 + 33 = 69. 맞습니다. 단위도 자연스럽습니다 — a = 30 분/마일, b = 0.03 분/피트이므로 더 길고 더 가파른 등산로일수록 시간이 더 걸립니다. 목표 등산로의 길이 4.2 마일은 등산로 1의 약 3 배, 고도 4000 피트는 5 배이므로 246 ≈ 3.5 × 69 분은 합리적인 크기입니다.

💡핵심 정리

시간이 같은 두 등산로가 같은 두 미지수에 대한 방정식 두 개를 준다 — 작은 연립을 한 번 풀어 두면 그 모델로 새 등산로의 시간도 바로 계산할 수 있어요.

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