AMC 10 · 2024 · #5
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AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
2024 ∣ n! 조건은 그대로 보면 막막하지만 잘게 쪼개면 쉬워집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 따라 먼저 2024 를 소인수분해하고, 각 소수마다 n! 이 그 소수를 포함하는지 따로 확인합니다 — n! 이 2024 의 배수가 되려면 소인수분해의 각 거듭제곱이 모두 들어 있어야 합니다. 가장 큰 소수가 n 의 최저선을 정해 줍니다. 이어서 도구 #3(선택지 지우기)으로 그 최저선보다 작은 선택지를 한 번에 잘라내면, 그 선을 만족하는 가장 작은 후보가 곧 답이 됩니다.
작은 문제 1 — 2024 에서 2 를 모두 빼내면 2³ × 11 × 23, 11 과 23 은 둘 다 소수.
253 = 11 × 23 을 알아내는 것은 4학년 "인수쌍 찾기" 단계이고, 11 과 23 은 둘 다 소수입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems작은 문제 2 — n! 은 n 이하 모든 소수를 품으므로 11 과 23 이 모두 필요하면 n ≥ 23 (큰 소수가 승).
팩토리얼이 어떤 소수를 가지는지 묻는 것은 "이 수들을 모두 담는 가장 작은 그릇" 발상, 곧 6학년 GCF/LCM 의 사고와 같습니다.
6.NS.B.4Identify Subproblems작은 문제 3 — 2 · 4 · 6 · 8 만으로도 2⁷, 필요한 2³ 을 훌쩍 넘으므로 2 의 지수는 걸림돌이 안 됨.
같은 밑끼리는 지수를 더한다 — 2^a · 2^b = 2^a+b — 라는 6학년 지수 법칙입니다. 7 ＞ 3 이므로 2 쪽은 여유롭습니다.
6.EE.A.1Identify Subproblems23 미만 선택지는 소수 23 을 놓치고 253 은 최소가 아니며, 23 만 모든 조건을 채우므로 답은 23 → (D).
가장 큰 소수가 최저선을 정하면 더 작은 선택지들은 한 줄로 지워집니다 — 최소공배수형 문제의 "가장 큰 소수가 병목" 정석입니다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities2024 = 2³ × 11 × 23 으로 쪼개는 순간 이 AMC 10 문제는 6학년 문제가 됩니다 — 가장 큰 소수 23 만 보면 답이 숨을 곳이 없죠.