AMC 10 · 2024 · #6

학년 4 counting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionsystematic-enumerationsequences-arithmetic easier-related-problempattern-recognitionoptimization-counting ↑ 선수 지식: systematic-enumerationmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

문자열 ABCDEF 에서 이웃한 두 문자를 한 번에 한 쌍씩 바꿔 가며 거꾸로 뒤집은 문자열 FEDCBA 를 만들려고 합니다. 이때 필요한 인접 교환 횟수의 최솟값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

~10

(C)

~12

(D)

~15

(E)

~24

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

길이 6 짜리를 한 번에 셈하기는 헷갈리기 쉽습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)에 따라 길이를 줄여 봅시다. 문제가 이미 ABC(길이 3)는 3 번이라고 알려 줬으니, 길이 2, 4, 5 까지 우리가 직접 세어 보면 됩니다. 작은 경우들이 모이면 도구 #5(패턴 찾기)로 1, 3, 6, 10, … 의 규칙(길이가 하나 커질 때마다 다음 정수만큼 증가)을 알아내고, 그 규칙으로 길이 6 의 답을 대수 없이 끌어낼 수 있습니다.

1STEP 1

쉬운 경우, 길이 2: AB 를 BA 로 뒤집으면 1 번이면 됩니다.

AB → BA (1 번)

2STEP 2

쉬운 경우, 길이 3: 문제가 준 ABC → BAC → BCA → CBA 가 바로 3 번입니다.

ABC → BAC → BCA → CBA (3 번)

3STEP 3

쉬운 경우, 길이 4: D 를 맨 앞으로(3 번), 남은 ABC 뒤집기(3 번) → 6 번.

ABCD → ABDC → ADBC → DABC → DBAC → DBCA → DCBA (6 번)

4STEP 4

쉬운 경우, 길이 5: E 를 맨 앞으로(4 번), 남은 ABCD 뒤집기(6 번) → 10 번.

10 = 4 + 6

5STEP 5

교환 수를 늘어놓으면 1, 3, 6, 10 — 매번 직전보다 하나 더 늘어나는 삼각수입니다.

길이 & 교환 수 & 증가 ; 2 & 1 & - ; 3 & 3 & +2 ; 4 & 6 & +3 ; 5 & 10 & +4

6STEP 6

길이 6 까지 한 칸 더: 다음 증가는 +5 이므로 10 + 5 = 15 → (D).

교환 수(6) = 10 + 5 = 15 → (D)

정답

~15

다른 셈 방식으로도 확인해 봅시다. 처음과 끝에서 순서가 "뒤집힌" 문자 쌍이 몇 개일까요? ABCDEF 에서는 모든 쌍이 알파벳 순서이고, FEDCBA 에서는 모든 쌍이 반대 순서입니다. 따라서 모든 쌍이 정확히 한 번씩 엇갈려야 하고, 인접 교환 한 번은 정확히 한 쌍만 뒤집습니다. 6 개 문자 중 두 개를 고르는 쌍의 개수는

\frac{(6 · 5)}{2}

= 15, 그래서 최솟값도 15. (D) 와 일치합니다. 또한 (A) 6 과 (B) 10 은 너무 작고(길이-5 만 해도 10), (E) 24 는 낭비, (C) 12 는 삼각수 단에 걸리지 않으므로 자연스러운 풀이가 없습니다.

💡핵심 정리

문자열이 너무 길게 느껴질 땐 먼저 짧게 줄여 보자. 길이 2, 3, 4, 5 는 1, 3, 6, 10 번 — 다음 계단은 +5 이므로 길이 6 은 15 번.

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