경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2024A · #9

학년 7 counting
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type
combinations-basicsystematic-enumerationset-partition identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: factorialmulti-digit-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
6 명의 11학년과 6 명의 12학년 학생 12 명을, 각 팀이 정확히 11학년 2 명과 12학년 2 명으로 이루어진 4 인 팀 3 개로 나누는 방법의 수를 구하세요. 단, 팀에는 이름이 없습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
720
(B)
1350
(C)
2700
(D)
3280
(E)
8100

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

11학년·12학년 두 갈래의 선택과 세 팀이 한데 얽혀 있어, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 부르는 신호입니다. 첫 팀의 11학년 2 명과 12학년 2 명을 고르고, 다음으로 둘째 팀, 마지막으로 셋째 팀을 차례로 고르면 각 단계가 깔끔한 C(n, 2) 계산이 되고, 그 곱이 "순서가 있는" 팀 배치(A팀, B팀, C팀)의 수입니다. 그런데 문제는 "3개의 서로소 팀"이라고만 했으니 팀에 이름이 없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시야를 바꿔 보면, 같은 팀 조합 하나가 라벨 배치에 따라 3! 번씩 세어졌음을 알 수 있고, 3! 로 나누면 라벨 없는 진짜 답이 나옵니다.

1STEP 1

첫 번째 팀 만들기

작은 문제 1(A팀): 11학년 6 중 2, 12학년 6 중 2를 골라 곱하면 225 가지.

C(6, 2) × C(6, 2) = 15 × 15 = 225
2STEP 2

두 번째 팀 만들기

작은 문제 2(B팀): 남은 11학년 4, 12학년 4에 같은 방식 — 36 가지.

C(4, 2) × C(4, 2) = 6 × 6 = 36
3STEP 3

마지막 팀 채우기

작은 문제 3(C팀): 11학년 2, 12학년 2만 남아 자동으로 정해져 단 1 가지.

C(2, 2) × C(2, 2) = 1 × 1 = 1
4STEP 4

세 경우의 수 곱하기

세 단계를 곱하면 라벨 있는 배치(A·B·C 순서): 225 × 36 × 1 = 8100.

225 × 36 × 1 = 8100 가지 (라벨 있는 배치)
5STEP 5

팀 순서만큼 나누기

팀엔 이름이 없어 각 분할이 3!=6 번 세어졌으니 나누면 8100 ÷ 6 = 1350 → (B).

8100/3! = 8100/6 = 1350 → (B)
정답
1350
3! 로 나누는 보정을 작은 경우로 점검합니다. 11학년 {J₁, J₂}, 12학년 {S₁, S₂}를 1 팀(4명)으로 만드는 경우: 라벨 있는 수는 C(2, 2)C(2, 2)=1, 라벨 없는 수도 1 — 11!\frac{1}{1!}=1과 일치. 11학년 4 명, 12학년 4 명을 2 팀으로 나누는 경우: 라벨 있는 수는 C(4, 2)C(4, 2)·C(2, 2)C(2, 2)=36, 라벨 없는 수는 362!\frac{36}{2!}=18. 한 팀의 11학년 쌍을 6 가지, 12학년 쌍을 6 가지로 짝짓고 라벨 맞바꿈 2! 로 나누면 같은 18이 나옵니다. 본 문제의 ÷ 3! 도 같은 원리입니다. 또한 선택지 (E) 8100은 정확히 라벨 있는 수이므로, 라벨 보정을 빠뜨린 학생이 빠질 함정이고 (B) 1350은 그것의 16\frac{1}{6} 로 자연스럽게 맞습니다.
💡핵심 정리

팀을 하나씩 차례로 뽑고 마지막에 3! 로 나눠 라벨을 잊으면 — AMC 10의 경우의 수 문제가 7학년 "복합 사건" 계산으로 줄어듭니다.

  • 첫 번째 팀 만들기
  • 두 번째 팀 만들기
  • 마지막 팀 채우기
  • 세 경우의 수 곱하기
  • 팀 순서만큼 나누기

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