AMC 10 · 2025 · #16

학년 7 counting
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type
combinations-basiccaseworksymmetry-argument casework ↑ 선수 지식: systematic-enumeration
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
원을 크기가 서로 다른 6개의 부채꼴로 나누어 고리 모양으로 배열한다. 빨강, 초록, 파랑 세 색을 쓰되 각 색은 정확히 2개의 부채꼴을 칠한다. 서로 맞닿은 부채꼴은 같은 색이면 안 된다. 이 규칙을 지키는 색칠 방법이 몇 가지인지 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
12
(B)
16
(C)
18
(D)
24
(E)
28

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

'몇 가지인가'를 묻는 세는 문제이므로 빠짐없이 나열하기가 핵심 도구다. 나열을 짧게 만들기 위해 먼저 고리를 그려 자리에 번호를 붙이고, 한 부채꼴의 색을 고정한 더 쉬운 문제를 푼 뒤 마지막에 곱해 준다. 남은 개수는 같은 색의 두 번째 부채꼴이 어디에 놓이는지에 따라 몇 개의 깔끔한 경우로 나뉜다.

1STEP 1

고리의 자리에 번호 붙이기

부채꼴에 시계 방향으로 1~6번을 붙이면 각 자리는 양옆 둘과 맞닿고, 6번은 1번과 맞닿는다. 크기가 달라 돌린 색칠도 따로 센다.

이웃: 1 - 2, 2 - 3, 3 - 4, 4 - 5, 5 - 6, 6 - 1
2STEP 2

1번을 고정하고 나중에 3을 곱하기

세 색은 역할이 같으니 1번이 빨강인 경우만 세고, 그 개수에 마지막으로 3을 곱한다.

전체 = 3 × (1번 = 빨강인 색칠 수)
3STEP 3

두 번째 빨강은 어디에 올 수 있나

빨강은 두 번이니 나머지 빨강은 이웃인 2번·6번을 피해 3번, 4번, 5번 중 하나다. 세 경우를 따로 센다.

두 번째 빨강 ∈ {3, 4, 5}
4STEP 4

각 경우를 나열하여 세기

남은 자리를 초록 2개·파랑 2개로 채우면 두 번째 빨강이 3번 2가지, 4번 4가지, 5번 2가지라 모두 8가지다.

2 + 4 + 2 = 8
5STEP 5

모든 첫 색에 대해 3 곱하기

1번이 초록일 때도 파랑일 때도 8가지이고 서로 겹치지 않으므로 8 × 3 = 24가지, 답은 (D)이다.

8 × 3 = 24
정답
24
대략적인 상한이 도움이 된다. 자리를 순서대로 채우면 첫 자리는 3가지, 이웃마다 대략 2가지여서 24보다 훨씬 많지만, 각 색을 정확히 두 번만 쓰는 규칙과 맞닿음 금지 규칙이 이를 크게 깎아 내므로 24는 믿을 만한 범위에 있다. 두 번째 확인: 세 경우의 값 2, 4, 2가 앞뒤로 대칭(경우 A가 경우 C를 거울처럼 반영)인데, 이는 대칭인 고리에서 기대되는 결과이며 모든 경우가 실제로 초록 2개와 파랑 2개를 썼다. 또한 24는 6 x 4와 같아, 3! = 6가지 색 순서에 4가지 구조 무늬를 곱하는 다른 셈과도 맞아떨어진다.
💡핵심 정리

한 색을 자리에 못 박고 나머지가 들어갈 몇 안 되는 방법을 센 뒤, 빼 두었던 색만큼 다시 곱한다.

  • 고리의 자리에 번호 붙이기
  • 1번을 고정하고 나중에 3을 곱하기
  • 두 번째 빨강은 어디에 올 수 있나
  • 각 경우를 나열하여 세기
  • 모든 첫 색에 대해 3 곱하기

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