AMC 10 · 2025 · #16

학년 7 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

combinations-basiccaseworksymmetry-argument casework ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 원을 크기가 서로 다른 $6$ 개의 부채꼴로 나누었다. 그런 다음 부채꼴 중 $2$ 개는 빨간색, $2$ 개는 초록색, $2$ 개는 파란색으로 칠하되, 서로 이웃한 두 부채꼴은 같은 색으로 칠하지 않도록 하였다. 이러한 색칠의 한 예가 아래에 나타나 있다.

서로 다른 색칠 방법은 모두 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~12

(B)

~16

(C)

~18

(D)

~24

(E)

~28

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원을 크기가 서로 다른 6개의 부채꼴로 나누어 고리 모양으로 배열한다. 빨강, 초록, 파랑 세 색을 쓰되 각 색은 정확히 2개의 부채꼴을 칠한다. 서로 맞닿은 부채꼴은 같은 색이면 안 된다. 이 규칙을 지키는 색칠 방법이 몇 가지인지 센다.

주어진 것: 6개의 부채꼴이 원을 따라 고리 모양으로 놓여 있어 각 부채꼴은 정확히 이웃 2개를 가진다.; 부채꼴 크기가 모두 달라서 각 자리는 서로 구별되며, 자리를 구분하는 것이 중요하다.; 빨강, 초록, 파랑 각각을 정확히 2개의 부채꼴에 칠한다.; 맞닿은 두 부채꼴은 같은 색일 수 없다.

구하는 것: 모든 규칙을 지키는 6부채꼴 고리의 색칠 방법의 개수.

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

'몇 가지인가'를 묻는 세는 문제이므로 빠짐없이 나열하기가 핵심 도구다. 나열을 짧게 만들기 위해 먼저 고리를 그려 자리에 번호를 붙이고, 한 부채꼴의 색을 고정한 더 쉬운 문제를 푼 뒤 마지막에 곱해 준다. 남은 개수는 같은 색의 두 번째 부채꼴이 어디에 놓이는지에 따라 몇 개의 깔끔한 경우로 나뉜다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.SP.C.8 단계 1

고리의 자리에 번호 붙이기

원을 그리고 부채꼴에 시계 방향으로 1부터 6까지 번호를 붙인다.
1번은 2번과 6번에 맞닿고, 2번은 1번과 3번에 맞닿는 식으로 고리를 한 바퀴 돌아 6번은 5번과 1번에 맞닿는다.
부채꼴 크기가 서로 다르므로 번호가 붙은 각 자리는 고유하며, 원을 돌려야만 같아 보이는 두 색칠도 여전히 서로 다른 것으로 센다.

\text{이웃: } 1\!-\!2,\ 2\!-\!3,\ 3\!-\!4,\ 4\!-\!5,\ 5\!-\!6,\ 6\!-\!1

💡 자리에 이름을 붙이면 막연한 '원'이 한 칸씩 채워 나갈 수 있는 고정된 목록으로 바뀐다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.A.1 단계 2

1번을 고정하고 나중에 3을 곱하기

세 색은 모두 같은 역할을 하므로, 먼저 1번 부채꼴이 빨강인 색칠만 센다.
그 개수가 얼마든, 1번이 초록일 때도 같은 개수가, 파랑일 때도 다시 같은 개수가 나온다.
모든 올바른 색칠은 1번에 어떤 하나의 색을 가지므로 세 묶음은 겹치지 않고, 따라서 전체는 크기가 같은 세 묶음, 즉 1번이 빨강인 개수에 3을 곱한 값이다.

\text{전체} = 3 \times (1\text{번} = \text{빨강인 색칠 수})

💡 한 색을 자리에 고정하면 반복 작업이 사라지고, 빠진 색들은 마지막의 깔끔한 3 곱하기로 되찾는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

두 번째 빨강은 어디에 올 수 있나

1번이 빨강이고 빨강은 정확히 두 번 쓰이므로 빨강 부채꼴이 하나 더 있다.
그것은 1번의 이웃일 수 없으므로 2번도 6번도 아니다.
그러면 두 번째 빨강의 자리는 3번, 4번, 5번의 세 경우만 남는다.
각 경우를 따로 세고 결과를 더한다.

\text{두 번째 빨강} \in \{3,\ 4,\ 5\}

💡 빨강 옆에 빨강이라는 단 하나의 금지된 수가 선택지를 짧은 자리 목록으로 줄여 준다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

각 경우를 나열하여 세기

이제 남은 네 부채꼴에는 초록 2개와 파랑 2개를 넣되 맞닿은 쌍이 같은 색이면 안 된다.
경우 A, 두 번째 빨강이 3번: 4-5-6번은 사슬을 이루고 2번은 홀로 있으므로, 사슬은 번갈아(초록-파랑-초록 또는 파랑-초록-파랑) 놓여야 하고 2번은 남은 색을 가져 2가지가 된다.
경우 B, 두 번째 빨강이 4번(정반대): 남은 자리는 맞닿은 두 쌍 (2,3)과 (5,6)으로 갈라지고, 각 쌍은 초록-파랑 또는 파랑-초록이 될 수 있으며 어떤 조합이든 자동으로 초록 2개와 파랑 2개를 쓰므로 2 x 2 = 4가지가 된다.
경우 C, 두 번째 빨강이 5번: 경우 A와 대칭이어서 2가지가 된다.
경우를 모두 더하면 1번이 빨강인 색칠은 2 + 4 + 2 = 8가지다.

$$2 + 4 + 2 = 8$$

💡 빨강을 못 박아 두면 나머지는 그냥 써 내려가며 셀 수 있는 작은 번갈이 무늬가 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 5

모든 첫 색에 대해 3 곱하기

1번이 빨강일 때 올바른 색칠은 8가지다.
1번이 초록일 때도, 파랑일 때도 똑같이 8가지가 나오며 이 세 무리는 서로 겹치지 않는다.
따라서 전체는 8의 세 묶음이다.
이는 8 x 3 = 24가지를 주며, 이것이 답 (D)와 일치한다.

$$8 \times 3 = 24$$

💡 서로 바꿔 쓸 수 있는 세 색은 같은 개수의 세 벌을 뜻하므로 곱셈 한 번으로 마무리된다.

[1] #1 7.SP.C.8 원을 그리고 부채꼴에 시계 방향으로 1부터 6까지 번호를 붙인다. 1번은 2번과 6번에 맞닿고, 2번은 1번과 3번에 맞닿는 식으로 고리를 한

[2] #9 3.OA.A.1 세 색은 모두 같은 역할을 하므로, 먼저 1번 부채꼴이 빨강인 색칠만 센다. 그 개수가 얼마든, 1번이 초록일 때도 같은 개수가, 파랑일 때도

[3] #7 7.SP.C.8 1번이 빨강이고 빨강은 정확히 두 번 쓰이므로 빨강 부채꼴이 하나 더 있다. 그것은 1번의 이웃일 수 없으므로 2번도 6번도 아니다. 그러면 두

[4] #2 7.SP.C.8 이제 남은 네 부채꼴에는 초록 2개와 파랑 2개를 넣되 맞닿은 쌍이 같은 색이면 안 된다. 경우 A, 두 번째 빨강이 3번: 4-5-6번은 사슬

[5] #2 3.OA.A.1 1번이 빨강일 때 올바른 색칠은 8가지다. 1번이 초록일 때도, 파랑일 때도 똑같이 8가지가 나오며 이 세 무리는 서로 겹치지 않는다. 따라서

검토

합리성 확인: 대략적인 상한이 도움이 된다. 자리를 순서대로 채우면 첫 자리는 3가지, 이웃마다 대략 2가지여서 24보다 훨씬 많지만, 각 색을 정확히 두 번만 쓰는 규칙과 맞닿음 금지 규칙이 이를 크게 깎아 내므로 24는 믿을 만한 범위에 있다. 두 번째 확인: 세 경우의 값 2, 4, 2가 앞뒤로 대칭(경우 A가 경우 C를 거울처럼 반영)인데, 이는 대칭인 고리에서 기대되는 결과이며 모든 경우가 실제로 초록 2개와 파랑 2개를 썼다. 또한 24는 6 x 4와 같아, 3! = 6가지 색 순서에 4가지 구조 무늬를 곱하는 다른 셈과도 맞아떨어진다.

대안 접근: 색을 고정하는 대신, 6-고리 위의 두 가지 구조 모양을 바로 나열할 수도 있다. 세 색이 모두 정반대 쌍에 놓이면 ABCABC로 번갈이 무늬가 강제되어 3! = 6가지가 되고, 정확히 한 색만 정반대에 놓이고 나머지 두 색이 거울 대칭인 이웃 쌍을 이루면 3(어느 색) x 3(어느 정반대 쌍) x 2 = 18가지가 된다. 그러면 6 + 18 = 24로 (D)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (모든 올바른 색칠을 경우별로 체계적인 목록으로 정리하고, 빠뜨리거나 중복 없이 각 경우의 배열 수를 세는 데 사용.)
3.OA.A.1 Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups (서로 바꿔 쓸 수 있는 세 첫 색 무리를 8의 세 묶음으로 합쳐 8 x 3 = 24를 얻는 데 사용.)

⭐ 한 색을 자리에 못 박고 나머지가 들어갈 몇 안 되는 방법을 센 뒤, 빼 두었던 색만큼 다시 곱한다.