AMC 10 · 2024 · #13

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

perfect-squaresprime-factorizationsystematic-enumeration convert-to-algebraidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squaresprime-factorizationlinear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수 x, y 가 √(x) + √(y) = √(1183) 을 만족합니다. x + y 의 최솟값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

585

(B)

595

(C)

623

(D)

700

(E)

791

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

양쪽 모두 무리수 제곱근이 있으니, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 √(1183) 의 무리수 부분을 먼저 드러냅니다. √(1183) = 13√(7) 이 되고 나면, 두 양의 정수 제곱근의 합이 13√(7) 이 되려면 둘 다 "(정수) · √(7)" 꼴이어야 합니다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이 단계를 깔끔히 갈라줍니다: 먼저 x = 7a², y = 7b² 꼴임을 강제하고, 그다음에 최소화. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 유한한 최소화 단계를 처리 — a + b = 13 인 양의 정수쌍을 모두 나열하고 a² + b² 가 가장 작은 쌍을 선택. "합이 고정될 때 제곱의 합 최소화" 의 고전: 가장 가까운 두 수일 때 최소.

1STEP 1

1183 = 7 · 13² 로 소인수분해하면 √(1183) = 13√(7), 식은 √(x) + √(y) = 13√(7) 가 됩니다.

1183 = 7 · 13² ⟹ √(x) + √(y) = 13√(7)

2STEP 2

√(x), √(y) 는 둘 다 √(7) 의 배수여야 하므로 x = 7a², y = 7b², 즉 a + b = 13.

x = 7a², y = 7b² ⟹ a√(7) + b√(7) = 13√(7) ⟹ a + b = 13

3STEP 3

목표식에 대입: x + y = 7a² + 7b² = 7(a² + b²), 이제 a² + b² 만 최소화하면 됩니다.

x + y = 7a² + 7b² = 7(a² + b²)

4STEP 4

a + b = 13 에서 a² + b² 는 두 수가 가장 가까울 때 최소: (6, 7) 이면 36 + 49 = 85.

min_a+b=13 (a² + b²) = 6² + 7² = 36 + 49 = 85

5STEP 5

곱하면 x + y = 7 · 85 = 595. 검산: √(252) + √(343) = 13√(7) = √(1183).

x + y = 7 · 85 = 595 → (B)

정답

595

답 595 는 선택지 한가운데에 있는데, 평범한 (그러나 자명하지 않은) 최솟값에 어울리는 자리입니다. 교차 확인: 다음 쌍 (a, b) = (5, 8) 은 7 · (25 + 64) = 7 · 89 = 623 — 정확히 (C); (4, 9) 는 7 · 97 = 679 (선택지 없음), (3, 10) 은 7 · 109 = 763. 선택지 (A)=585, (B)=595, (C)=623, (E)=791 이 실제 제곱합 사다리와 깔끔히 맞물려 (B) 가 최솟값, (C) 가 그다음이라는 패턴이 보입니다 — 대수가 옳다는 강한 신호.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "무리수는 섞이지 않는다" 와 4학년 "인수쌍 빠짐없이 나열" 만 알면 풀 수 있어요!

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