경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2024B · #14

학년 8 probability
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
probability-basicarea-circlescoordinate-geometryfraction-arithmetic identify-subproblemsarea-differenceconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basicarea-circlescoordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
평면 위 영역 B 는 |x| + |y| ≤ 8 을 만족하는 점 (x, y) 전체, 영역 T 는 (x² + y² - 25)² ≤ 49 를 만족하는 점 전체입니다. 다트가 B 위에 균일하게 임의로 떨어질 때 T 에 떨어질 확률은 기약분수꼴 mn\frac{m}{n}π 로 쓸 수 있습니다. m + n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
39
(B)
71
(C)
73
(D)
75
(E)
135

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

두 영역 모두 평면 위에 있고 답이 넓이의 비이므로 그림이 모든 것을 결정합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 각 부등식의 정체를 드러냅니다 — |x| + |y| ≤ 8은 대각선이 좌표축 위에 있는 45° 회전 정사각형, (x² + y² - 25)² ≤ 49는 원점 중심의 원환(annulus). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 계산을 세 조각으로 나눕니다 — B 의 넓이, T 의 넓이, 그리고 비율. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 표적 부등식을 정리: r² = x² + y²로 놓으면 (r² - 25)² ≤ 49가 |r² - 25| ≤ 7, 즉 18 ≤ r² ≤ 32 — 두 동심원 사이.

1STEP 1

영역 B 넓이 구하기

|x| + |y| ≤ 8은 대각선이 축 위 길이 16 인 45° 정사각형, 그래서 Area(B) = 12\frac{1}{2}·16·16 = 128.

Area(B) = 1/2(16)(16) = 128
2STEP 2

부등식 풀어 쓰기

r² = x² + y²로 두면 (r² - 25)² ≤ 49는 |r² - 25| ≤ 7, 즉 18 ≤ r² ≤ 32.

(r² - 25)² ≤ 49 ⇔ 18 ≤ r² ≤ 32
3STEP 3

고리 넓이 구하기

고리 18 ≤ r² ≤ 32는 r²=32 원판에서 r²=18 원판을 뺀 것, Area(T) = π(32) - π(18) = 14π.

Area(T) = π(32) - π(18) = 14π
4STEP 4

고리가 안에 들어가는지 확인하기

T 의 바깥 반지름 √(32) = 4√(2)는 원점–변 거리 82\frac{8}{\sqrt{2}} 와 같아, 고리가 정사각형 안에 접함: T ⊆ B.

√(32) = 4√(2) = dist(원점, B의 변) ⟹ T ⊆ B
5STEP 5

넓이끼리 나누기

확률 = 14π128\frac{14π}{128} = 7π64\frac{7π}{64}, 그래서 m = 7, n = 64는 서로소이고 m + n = 71.

m/nπ = 14π/128 = 7π/64 ⟹ m + n = 7 + 64 = 71 → (B)
정답
71
원환 넓이 14π ≈ 44, 정사각형 넓이 128 이니 확률은 약 44128\frac{44}{128} ≈ 0.34. 다이아몬드의 꽤 큰 부분을 차지하는 두꺼운 고리에 어울리는 값입니다. 두 번째 확인: 7과 64가 서로소인지 — 맞습니다. 다른 선택지들은 그럴듯한 실수에 대응: (A) 39 = 7 + 32는 안쪽 원을 빼지 않은 결과, (E) 135 = 14 + 121은 √(32) 계산 실수에서 나옴. 우리의 (B) = 71이 깔끔한 정답.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 제곱근 추론과 7학년 원 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

  • 영역 B 넓이 구하기
  • 부등식 풀어 쓰기
  • 고리 넓이 구하기
  • 고리가 안에 들어가는지 확인하기
  • 넓이끼리 나누기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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