AMC 10 · 2024 · #15

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangesystematic-enumerationinterval-arithmetic caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangefraction-decimal-conversion

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

9 개의 실수로 된 리스트가 고정된 여섯 수 1, 2.2, 3.2, 5.2, 6.2, 7 과 x ≤ y ≤ z 인 세 실수로 이루어져 있습니다. 리스트의 범위(range)는 7 이고, 평균과 중앙값이 모두 양의 정수입니다. 가능한 순서쌍 (x, y, z) 의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

$text{infinitely many}$

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

조건이 세 가지 (범위, 평균-정수, 중앙값-정수) 이고 리스트의 min·max 가 {1, 7} 인지 {x, z} 인지에 따라 경우가 네 가지로 갈립니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 "누가 min, 누가 max" 로 경우를 명시적으로 나눕니다. 그 다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 살아남는 세 경우(네 번째 경우 min = 1, max = 7 은 범위 6 이라 즉시 탈락)를 차례로 다룹니다. 각 경우 안에서 평균-정수 조건이 x + y + z 의 소수 부분을 .2 로 묶고, 범위 조건이 x 또는 z 중 하나를 결정하며, 중앙값-정수 조건이 마지막 자유 변수를 좁힙니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막 필터링 — 후보가 나오면 원래 식에 다시 넣어 네 조건을 모두 확인하고 통과 못 한 것을 버립니다.

1STEP 1

고정된 여섯 수의 합 24.8, 평균이 정수면 x + y + z ∈ {2.2, 11.2, 20.2, …}, 범위에서 x ≥ 0.

x + y + z = 9M - 24.8, M ∈ Z_ ＞ 0, x ≥ 0

2STEP 2

누가 min·max 인지로 나눔. min=1·max=7 은 범위 6 이라 탈락; 살아남는 세 경우: z=8, x=0, z=x+7.

경우 I: z=8; 경우 II: x=0; 경우 III: z=x+7, 0 ≤ x ＜ 1

3STEP 3

경우 I (z=8): x+y=3.2 는 중앙값 3.2 라 탈락; x+y=12.2 만 생존, 4.2 ≤ x ≤ 6.1.

경우 I 살아남은 부분: x+y=12.2, 4.2 ≤ x ≤ 6.1

4STEP 4

정렬 리스트에 중앙값 조건을 넣으면 x=6 뿐 (중앙값 6), 유효 순서쌍 (6, 6.2, 8), 평균 5.

(x, y, z) = (6, 6.2, 8) — 유효

5STEP 5

경우 II (x=0): y+z=2.2 중앙값서 탈락; y+z=11.2 는 정수 y=5, z=6.2 — 유효 (0, 5, 6.2), 평균 4.

(x, y, z) = (0, 5, 6.2) — 유효

6STEP 6

경우 III (z=x+7): 중앙값이 정수 y∈{4,5} 강제. y=4 → x=0.1, z=7.1; y=5 x가 [0,1) 밖 — 해 없음.

y=4 → x=0.1, z=7.1; y=5 → 해 없음

7STEP 7

경우 III 의 (0.1, 4, 7.1) 도 성립 (중앙값 4, 평균 4, 범위 7). 모든 경우 합쳐 유효 순서쌍 3 개 — 답 (C).

(x, y, z) ∈ {(6, 6.2, 8), (0, 5, 6.2), (0.1, 4, 7.1)} → (C)

정답

세 순서쌍이 각각 범위 7 이 실현되는 서로 다른 구조에 대응합니다 — 새 max 가 z = 8 인 경우, 새 min 이 x = 0 인 경우, 양쪽이 모두 새 값 (x = 0.1, z = 7.1) 인 경우. 이 대칭성이 경우 분석이 빠짐없음을 뒷받침합니다. 또한 검증된 세 순서쌍 각각의 평균(5, 4, 4) 과 중앙값(6, 5, 4) 이 모두 달라 진짜로 별개의 해임을 확인. 답 (C) = 3 이 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "평균·중앙값·범위" 정의와 꼼꼼한 경우 나누기만 알면 풀 수 있어요!

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