AMC 10 · 2024 · #2

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

factorialmulti-digit-arithmeticexponents identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: factorialmulti-digit-arithmeticorder-of-operations

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문제

n! 이 1 부터 n 까지의 자연수 곱이라고 할 때, 10! - 7! · 6! 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-120

(B)

(C)

120

(D)

600

(E)

720

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

10! 과 7! · 6! 을 처음부터 곱하면 자릿수가 너무 커 실수의 여지가 큽니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 10! 안에 7! 이 이미 들어 있다는 점에 주목해 7! 을 공통 인수로 묶고, 괄호 안의 작은 식이 답을 결정하게 합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 보조 — 10 · 9 · 8 = 720 = 6! 이라는 "우연 같지만 정답인 일치"를 알아보는 순간이 핵심입니다.

1STEP 1

10! = 10 · 9 · 8 · 7! 이므로 두 항 모두 7! 을 공통 인수로 가져, 이를 묶어냅니다.

10! - 7! · 6! = (10 · 9 · 8) · 7! - 7! · 6! = 7! · (10 · 9 · 8 - 6!)

2STEP 2

괄호 안 10 · 9 · 8 을 둘씩 묶어 10 · 9 = 90, 90 · 8 = 720 으로 계산합니다.

10 · 9 · 8 = 90 · 8 = 720

3STEP 3

6! 도 같은 방식으로 6 · 5 = 30, 30 · 4 = 120, 120 · 3 = 360, 360 · 2 = 720.

6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

4STEP 4

두 곱이 모두 720 이므로 괄호는 0, 따라서 7! · 0 = 0 입니다.

7! · (720 - 720) = 7! · 0 = 0 → (B)

정답

정공법으로 다시 확인합니다: 10! = 3,628,800, 7! · 6! = 5040 · 720 = 3,628,800. 차이는 정확히 0. 즉 10! = 7! · 6! 라는 등식이 정말 성립하고, 답은 (B) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 5학년 다자릿수 곱셈과 3학년 분배법칙만 알면, 10 · 9 · 8 = 6! 임을 눈치채는 순간 답이 곧장 0 으로 나와요!

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