AMC 10 · 2024 · #23

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

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문제

피보나치 수열은 F₁ = 1, F₂ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 3) 로 정의됩니다. 합

\frac{F₂}{F₁}

\frac{F₄}{F₂}

\frac{F₆}{F₃}

+ … +

\frac{F₂0}{F₁0}

, 즉 Σ_n=1¹⁰

\frac{F₂n}{F_n}

의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

318

(B)

319

(C)

320

(D)

321

(E)

322

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

문제는 정의가 분명한 유한합 (10 개 비율) 입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 주축: F₁, …, F₂0 을 차례로 나열한 뒤 10 개 비율을 나열. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 시작점 — 처음 서너 항을 직접 계산해 보면 1, 3, 4, 7, … 처럼 정수입니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 이 정수들이 피보나치식 점화 (a_n = a_n-1 + a_n-2, 1, 3 으로 시작) 를 따른다는 사실을 알려 줘, 나머지는 큰 피보나치 수를 나누는 대신 덧셈만으로 확장합니다. 정수 10 개를 손에 쥐면 답은 신중한 덧셈 한 번.

1STEP 1

피보나치 수 F₁ 부터 F₂0 까지 차례로 나열. 각 항은 앞 두 항의 합.

F₁, F₂, …, F₂0 = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765

2STEP 2

처음 몇 비율 a_n = $\frac{F₂n}{F_n}$ 을 직접 계산하면 정수 1, 3, 4, 7, 11.

a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 4, a₄ = 7, a₅ = 11

3STEP 3

패턴 포착: 4 = 1 + 3, 7 = 3 + 4, 11 = 4 + 7 — 앞 두 항을 더하는 같은 규칙, 시작만 1, 3.

a_n = a_n-1 + a_n-2 (n ≥ 3), a₁ = 1, a₂ = 3

4STEP 4

덧셈으로 나머지 다섯 비율: 18, 29, 47, 76, 123 (확인: $\frac{F₂0}{F₁0}$ = $\frac{6765}{55}$ = 123).

a₆, a₇, a₈, a₉, a₁0 = 18, 29, 47, 76, 123

5STEP 5

10 개 비율 합산: 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 76 + 123 = 319, 선택지 (B).

S = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 76 + 123 = 319 → (B)

정답

319

두 가지 확인. (1) 크기 — 가장 큰 항 a₁0 = 123, 두 번째로 큰 a₉ = 76 이므로 합은 적어도 123 + 76 = 199, 많아야 10 · 123 = 1230. 319 (≈ 123 · 2.6) 는 그 범위 안에 자연스럽게 들어옴. (2) 점화식 활용 — 루카스식 합에는 닫힌 형태 a₁ + a₂ + … + a₁0 = a₁2 - 3 이 성립. 같은 점화로 a₁1 = 76 + 123 = 199, a₁2 = 123 + 199 = 322 → 322 - 3 = 319. 무료 검증이 일치. 인접 오답 318, 320, 321, 322 는 모두 "한두 칸 빗나간" 산수 함정인데 이 재유도로 모두 배제됩니다.

💡핵심 정리

겁나 보이는 피보나치 비율도 처음 몇 개를 직접 나눠 보면 1, 3, 4, 7, 11 — 그 다음은 그냥 덧셈으로 123 까지 이어지고, 10 개 합 319. 5학년 나눗셈과 4학년 수 패턴 규칙만으로 충분.

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