AMC 10 · 2024 · #24

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

paritymodular-arithmeticexponentsdivisibility-rules caseworkeasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: paritymodular-arithmeticexponentsfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

P(m) =

\frac{m}{2}

\frac{m²}{4}

\frac{m⁴}{8}

\frac{m⁸}{8}

으로 정의할 때, 네 값 P(2022), P(2023), P(2024), P(2025) 중 정수인 것은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

2022, 2023, 2024, 2025 라는 큰 수가 특별해 보이지만 분모 2, 4, 8, 8 은 m mod 8 만 신경 씁니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 질문을 짝/홀 두 종류로 나눕니다 — 짝수 2022, 2024 와 홀수 2023, 2025. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 큰 입력을 작은 대표값으로 교체 — 짝수는 m = 2, 홀수는 m = 1. 도구 #5(패턴 찾기)는 "정수냐 아니냐" 가 짝/홀 별로 모든 입력에서 같음을 보여 줍니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 P(1), P(2) 를 몇 초 만에 직접 계산해 확신을 줍니다.

1STEP 1

네 입력을 짝/홀로 분류: 짝수 2022·2024, 홀수 2023·2025 — 정수 여부는 짝/홀에만 달림.

짝수 경우: 2022, 2024 ; 홀수 경우: 2023, 2025

2STEP 2

짝수 m = 2k 대입 → 각 항이 정수, P(2) = 36. 따라서 P(2022), P(2024) 정수.

P(2k) = k + k² + 2k⁴ + 32 k⁸ ∈ Z

3STEP 3

홀수 m = 1: P(1) = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1 — 네 분수 조각이 정확히 1 을 채움.

P(1) =

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

\frac{1}{8}

\frac{8}{8}

= 1

4STEP 4

홀수 m 도 m² ≡ m⁴ ≡ m⁸ ≡ 1 (mod 8) 이라 소수 부분 합이 1 → P(2023), P(2025) 정수.

m 홀수 → m ≡ 1 ( mod 2), m² ≡ m⁴ ≡ m⁸ ≡ 1 ( mod 8)

5STEP 5

모든 입력이 짝수 아니면 홀수이고 둘 다 정수 → 네 값 모두 정수, 답 (E).

#{m : P(m) ∈ Z} ∩ {2022, 2023, 2024, 2025} = 4 → (E)

정답

공짜 검증 두 개. P(2) = 36 (2단계), P(1) = 1 (3단계) 모두 정수 — 가장 작은 대표값에서 짝·홀 논증을 확인. 추가 검증: P(3) =

\frac{3}{2}

\frac{9}{4}

\frac{81}{8}

\frac{6561}{8}

\frac{12 + 18 + 81 + 6561}{8}

\frac{6672}{8}

= 834 — 역시 정수, 홀수 주장과 일치. 답 4 가 선택지의 상단인 것도 자연스럽습니다 — 출제자가 분모 2, 4, 8, 8 을 의도적으로 골라

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

\frac{1}{8}

= 1 이 되게 한 신호.

💡핵심 정리

2024 같은 큰 수가 무서워 보이지만 분모는 짝/홀만 신경 씁니다. 가장 작은 짝수 m = 2 와 가장 작은 홀수 m = 1 만 시험해도 둘 다 정수 — 따라서 어떤 정수 m 에 대해서도 P(m) 은 정수이고, 답은 네 개 전부.

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