AMC 10 · 2024 · #3

학년 8 arithmetic

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interval-arithmeticestimationsystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: interval-arithmeticorder-of-operationsestimation

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

부등식 |2x| ≤ 7π 를 만족시키는 정수 x 의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

주어진 것은 절댓값 부등식과 무리수 경계 — 도구 #13(대수로 바꾸기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. |2x| ≤ 7π 를 -7π ≤ 2x ≤ 7π 로 풀어내고 양변을 2 로 나누어 - $\frac{7π}{2}$ ≤ x ≤ $\frac{7π}{2}$ 를 얻습니다. 깨끗한 수직선 구간이 잡힌 뒤에는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 마무리 — $\frac{7π}{2}$ ≈ 10.996 이므로 정수 -10, -9, …, 10 을 순서대로 적고 개수를 세면 됩니다.

1STEP 1

절댓값은 0 으로부터의 거리 — |2x| ≤ 7π 는 2x 가 -7π 와 7π 사이에 있다는 뜻.

|2x| ≤ 7π ⟺ -7π ≤ 2x ≤ 7π

2STEP 2

양수 2 로 모든 부분을 나눠 x 만 가운데 남기면 - $\frac{7π}{2}$ ≤ x ≤ $\frac{7π}{2}$ .

\frac{7π}{2}

≤ x ≤

\frac{7π}{2}

3STEP 3

π ≈ 3.14 이므로 경계 $\frac{7π}{2}$ ≈ 10.996, x 는 대략 [-10.996, 10.996] 구간.

\frac{7π}{2}

≈

\frac{21.991}{2}

≈ 10.996

4STEP 4

10.996 ＜ 11 이므로 들어맞는 정수는 -10 부터 10 까지, 0 을 중심으로 대칭.

x ∈ {-10, -9, -8, …, -1, 0, 1, …, 9, 10}

5STEP 5

-10 부터 10 까지 세면 10 - (-10) + 1 개 — 음수 10 개, 양수 10 개, 그리고 0.

10 - (-10) + 1 = 21 → (E)

정답

경계 확인: x = 11 은 정말로 안 되는가? |2 · 11| = 22, 7π ≈ 21.99 ＜ 22 이므로 통과 못함 — 맞음. x = 10 은 되는가? |2 · 10| = 20 ＜ 21.99 이므로 통과 — 맞음. 구간 [-10, 10] 에는 정수 21 개가 들어 있어서 (E) 와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "무리수 어림"과 6학년 "절댓값"만 알면, $\frac{7π}{2}$ ≈ 10.996 이라는 사실로 -10 부터 10 까지 세서 답이 나와요!

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