AMC 10 · 2024 · #5

학년 6 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

sequences-arithmeticperfect-squaressystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1 + 3 + 5 + … + 97 + 99 (처음 50 개 양의 홀수의 합) 에서 멜라니가 몇 개의 + 부호를 - 로 바꾸어 새 식의 값이 음수가 되게 했습니다. 부호를 바꾼 최소 개수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 "+ 를 - 로 바꾼다" 라는 말을 깔끔한 식으로 옮깁니다 — 숫자 x 의 부호 한 번을 뒤집으면 원래 합 S = 2500 에서 2x 가 깎이므로, 새 합 = 2500 - 2 · (뒤집힌 수들의 합) 이고 이게 ＜ 0 이려면 뒤집은 수들의 합이 1250 보다 커야 합니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 전략적 통찰 — "몇 번 뒤집지?" 대신 "한 번에 얼마나 줄일 수 있지?" 로 시선을 옮기면 답은 "큰 수부터 뒤집기". 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 마지막 마무리 — k = 14, 15 두 후보를 닫힌 식에 직접 넣어 확인합니다.

1STEP 1

처음 50 개 홀수의 합은 50² = 2500 — 1 + 99 = 100 으로 25 쌍을 지어 확인합니다.

S = 1 + 3 + 5 + … + 99 = 50² = 2500

2STEP 2

+x 를 -x 로 바꾸면 합이 2x 줄어드니, 뒤집은 수들의 합 F 에 대해 새 합은 2500 - 2F.

S_new = 2500 - 2F, F = Σ_뒤집힌 x

3STEP 3

"새 합이 음수" 조건 2500 - 2F ＜ 0 을 정리하면 F ＞ 1250 이 됩니다.

2500 - 2F ＜ 0 ⟺ F ＞ 1250

4STEP 4

부호 뒤집기를 아끼려면 큰 홀수부터 뒤집습니다 — 가장 큰 k 개의 합은 k(100 - k).

k 번 뒤집기의 최대 합 = 99 + 97 + … + (101 - 2k) = k(100 - k)

5STEP 5

경계에서 확인: 14 · 86 = 1204 는 부족하지만 15 · 85 = 1275 는 1250 을 넘겨 (B).

k = 14: 14 · 86 = 1204 ≯ 1250 (실패) k = 15: 15 · 85 = 1275 ＞ 1250 (성공) → (B)

정답

k = 15 의 뒤집기를 직접 검증합니다. 가장 큰 홀수 71, 73, …, 99 의 15 개를 뒤집으면 그들의 합 1275 만큼이 양에서 음으로 옮겨가 새 합은 2500 - 2 · 1275 = -50 ＜ 0. 정말로 음수가 됩니다. k = 14 의 가장 효율적인 뒤집기 (73, 75, …, 99) 의 합은 1204 라 새 합은 2500 - 2 · 1204 = 92 ＞ 0 — 불가능. 그래서 최소값은 정확히 15, (B) 와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 부등식("새 합이 음수" 를 F ＞ 1250 으로 옮기기)과 5학년 다자릿수 곱셈만 알면, 큰 홀수부터 뒤집어서 15 번에서 경계를 넘긴다는 게 보여요!

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