AMC 10 · 2024 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorsprime-factorizationperimeterarea-rectangles systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationfactorsperimeterarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 변의 길이가 모두 자연수이고 넓이가 2024인 직사각형이 있습니다. 이런 직사각형 중에서 둘레가 가장 짧은 경우의 둘레를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

160

(B)

180

(C)

222

(D)

228

(E)

390

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

곱이 정해진 두 양수에서 합이 가장 작은 쌍은 제곱근에 가장 가까운 쌍입니다. √(2024) ≈ 45 이므로 45 근처의 정수만 시험하면 되고, 이는 도구 #6(추측하고 확인하기)에 딱 맞는 상황입니다 — 제곱근 추정값에서 시작해 위아래로 조정. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 둘로 나눠줍니다 — 먼저 2024 를 소인수분해해 어떤 정수가 약수인지 파악하고, 다음으로 우승한 (ℓ, w) 쌍을 둘레로 환산.

1STEP 1

쪼개기 A: 2024 = 2³ × 11 × 23 로 소인수분해 — 모든 변의 길이는 이 소수들의 곱으로 만들어져요.

2024 = 2 × 1012 = 2 × 2 × 506 = 2³ × 253 = 2³ × 11 × 23

2STEP 2

√2024 ≈ 45 로 어림해요 (45² = 2025) — 균형 잡힌 약수쌍이 어디 있을지 감을 잡습니다.

44² = 1936, 45² = 2025 → √(2024) ≈ 45

3STEP 3

45 근처에서 추측: 소인수를 46 × 44 = 2024 로 나누면 둘 다 45 와 차이가 1.

46 × 44 = 2024 ✓

4STEP 4

이웃 확인: 44 바로 아래 약수는 23, 짝은 88 — 합 111 로 90 보다 훨씬 커요. 그래서 (44, 46) 이 최적.

다음 쌍: 23 × 88 → 23 + 88 = 111 ＞ 90

5STEP 5

쪼개기 B: (46, 44) 를 P = 2(ℓ + w) 에 넣으면 2 × 90 = 180 → (B).

P = 2(46 + 44) = 2 × 90 = 180 → (B)

정답

180

선택지를 빠르게 점검해 봅시다. (A) 160 이 답이려면 ℓ + w = 80, 즉 평균이 40 인 쌍이어야 하지만 40 × 40 = 1600 ＜ 2024 라 곱이 부족 — (A) 는 불가능. 우리 답 180 은 ℓ + w = 90, 평균 45 로 √(2024) ≈ 45 와 정확히 맞습니다. (C), (D), (E) 는 23 × 88, 11 × 184 같은 한쪽으로 치우친 쌍에 해당해 모두 더 큰 값입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 제곱근 어림만 알면 풀 수 있어요 — √(넓이) 에 가장 가까운 약수쌍을 찾으면 둘레가 곧장 결정됩니다!

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