AMC 10 · 2024 · #7

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

modular-arithmeticexponentspattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmeticexponents

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

7²⁰²⁴ + 7²⁰²⁵ + 7²⁰²⁶ 을 19 로 나눈 나머지를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

세 항이 공통으로 7²⁰²⁴ 를 가지므로 대수의 첫 수는 공통인수를 묶어내 괄호 안 1 + 7 + 7² 를 살펴보는 것입니다. 이는 도구 #13(대수로 바꾸기)의 가장 깔끔한 형태 — 수의 합이 곱으로 바뀌고, 각 인수의 나눗셈 가능성을 하나씩 따로 확인할 수 있게 됩니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 나머지 문제를 둘로 가릅니다 — 1 + 7 + 49 = 57 을 계산하고, 57 이 19 로 나누어떨어지는지 확인. 그렇다면 7²⁰²⁴ 의 값과 관계없이 전체가 19 의 배수가 되어 나머지는 0.

1STEP 1

세 항에서 가장 작은 거듭제곱 7²⁰²⁴ 를 묶어내 합을 하나의 곱으로 바꿉니다.

7²⁰²⁴ + 7²⁰²⁵ + 7²⁰²⁶ = 7²⁰²⁴(1 + 7 + 7²)

2STEP 2

쪼개기 A: 괄호 안을 손으로 계산하면 1 + 7 + 49 = 57.

1 + 7 + 7² = 1 + 7 + 49 = 57

3STEP 3

쪼개기 B: 57 은 19 의 배수 — 57 = 3 × 19 이기 때문입니다.

57 = 3 × 19

4STEP 4

57 = 3 × 19 를 되끼우면 19 가 합 전체의 인수가 되어 나머지는 0 입니다.

7²⁰²⁴ + 7²⁰²⁵ + 7²⁰²⁶ = 7²⁰²⁴ × 3 × 19 → 나머지 = 0 → (A)

정답

모듈러 산수로 교차 확인합시다. 7² = 49 = 2 × 19 + 11 이므로 7² ≡ 11 (mod 19). 그러면 7³ ≡ 7 · 11 = 77 = 4 × 19 + 1, 즉 7³ ≡ 1 (mod 19). 연속한 세 거듭제곱 7²⁰²⁴, 7²⁰²⁵, 7²⁰²⁶ 은 {7^a, 7^a · 7, 7^a · 7²} 의 꼴이고, 그 합은 7^a(1 + 7 + 49) = 7^a · 57 ≡ 7^a · 0 = 0 (mod 19). 답 (A) 와 동일.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 공통 거듭제곱을 묶어내고 작은 나머지가 19 로 나누어떨어지는지만 확인하면 거대한 거듭제곱을 계산할 필요가 전혀 없습니다!

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