경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2024B · #7

학년 6 number-theory
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation
modular-arithmeticexponentspattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmeticexponents
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
7²⁰²⁴ + 7²⁰²⁵ + 7²⁰²⁶ 을 19 로 나눈 나머지를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
7
(D)
11
(E)
18

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

세 항이 공통으로 7²⁰²⁴를 가지므로 대수의 첫 수는 공통인수를 묶어내 괄호 안 1 + 7 + 7²를 살펴보는 것입니다. 이는 도구 #13(대수로 바꾸기)의 가장 깔끔한 형태 — 수의 합이 곱으로 바뀌고, 각 인수의 나눗셈 가능성을 하나씩 따로 확인할 수 있게 됩니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 나머지 문제를 둘로 가릅니다 — 1 + 7 + 49 = 57을 계산하고, 57이 19로 나누어떨어지는지 확인. 그렇다면 7²⁰²⁴의 값과 관계없이 전체가 19의 배수가 되어 나머지는 0.

1STEP 1

가장 작은 거듭제곱 묶어내기

세 항에서 가장 작은 거듭제곱 7²⁰²⁴를 묶어내 합을 하나의 곱으로 바꿉니다.

7²⁰²⁴ + 7²⁰²⁵ + 7²⁰²⁶ = 7²⁰²⁴(1 + 7 + 7²)
2STEP 2

괄호 안 계산하기

쪼개기 A: 괄호 안을 손으로 계산하면 1 + 7 + 49 = 57.

1 + 7 + 7² = 1 + 7 + 49 = 57
3STEP 3

57 인수분해하기

쪼개기 B: 57은 19의 배수 — 57 = 3 × 19 이기 때문입니다.

57 = 3 × 19
4STEP 4

되돌려 넣고 19 확인하기

57 = 3 × 19를 되끼우면 19가 합 전체의 인수가 되어 나머지는 0 입니다.

7²⁰²⁴ + 7²⁰²⁵ + 7²⁰²⁶ = 7²⁰²⁴ × 3 × 19 → 나머지 = 0 → (A)
정답
0
모듈러 산수로 교차 확인합시다. 7² = 49 = 2 × 19 + 11 이므로 7² ≡ 11 (mod 19). 그러면 7³ ≡ 7 · 11 = 77 = 4 × 19 + 1, 즉 7³ ≡ 1 (mod 19). 연속한 세 거듭제곱 7²⁰²⁴, 7²⁰²⁵, 7²⁰²⁶은 {7^a, 7^a · 7, 7^a · 7²}의 꼴이고, 그 합은 7^a(1 + 7 + 49) = 7^a · 57 ≡ 7^a · 0 = 0 (mod 19). 답 (A)와 동일.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 공통 거듭제곱을 묶어내고 작은 나머지가 19로 나누어떨어지는지만 확인하면 거대한 거듭제곱을 계산할 필요가 전혀 없습니다!

  • 가장 작은 거듭제곱 묶어내기
  • 괄호 안 계산하기
  • 57 인수분해하기
  • 되돌려 넣고 19 확인하기

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