AMC 10 · 2025 · #11

학년 6 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

sequences-arithmeticsequences-geometricmodular-arithmeticdivisibility-rules guess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticsequences-geometric

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

수열 1, x, y, z는 등차수열(매번 같은 수를 더함)이고, 수열 1, p, q, z는 등비수열(매번 같은 수를 곱함)이다. 두 수열은 모두 1에서 시작해 같은 값 z에서 끝난다. 둘 다 순증가하고 모든 항이 정수이다. z를 가능한 한 작게 만든 뒤 x + y + z + p + q를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

103

(D)

132

(E)

149

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

아직 수치가 하나도 없으니 숨은 두 규칙에 이름을 붙인다. 도구 #4(변수 도입하기): 등차수열이 더하는 양을 d, 등비수열이 곱하는 양을 r이라 하자. 그러면 두 수열의 모든 항이 d 또는 r의 식이 되고, 둘을 잇는 유일한 사실 — 같은 z에서 끝난다는 것 — 이 하나의 방정식 r³ = 1 + 3d로 바뀐다. 이 방정식이 전부다. 도구 #14(극단의 원리)는 "z를 가능한 한 작게"라는 조건을 다룬다. z = r³은 r이 커질수록 커지므로, 가장 작은 z는 사용 가능한 가장 작은 r에서 나온다. 따라서 모든 항을 정수로 유지하는 첫 번째 공비만 찾으면 된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 r = 2, 3, 4, …를 그 정수 조건에 하나씩 대보아 통과하는 것을 찾는다.

1STEP 1

등차의 한 걸음에 이름 붙이기

더하는 양을 d라 하면 네 항은 1, 1+d, 1+2d, 그리고 끝점 1+3d이다.

x = 1+d, y = 1+2d, z = 1+3d

2STEP 2

등비의 공비에 이름 붙이기

공비를 r이라 하면 항은 1, r, r², 끝점 r³이고, r은 정수 p와 같으니 정수이다.

p = r, q = r², z = r³

3STEP 3

공유하는 끝점 잇기

둘 다 똑같은 z에서 끝나므로 1+3d = r³으로 놓고 풀면 d = (r³ - 1)/3이다.

r³ = 1 + 3d ⟹ 3d = r³ - 1 ⟹ d = (r³ - 1)/3

4STEP 4

가장 작은 z에는 가장 작은 r

z = r³은 r과 함께 커지니, d를 정수로 두는 가장 작은 r, 곧 r³ - 1이 3의 배수가 되는 첫 r을 택한다.

d = (r³ - 1)/3 ∈ Z ⇔ 3 ∣ (r³ - 1)

5STEP 5

공비를 차례로 확인하기

후보를 세제곱해 1을 빼면 7과 26은 빗나가고 63은 3의 배수라, r = 4가 처음 통과하며 d = 21이다.

2³ - 1 = 7, 3³ - 1 = 26, 4³ - 1 = 63 = 3 · 21

6STEP 6

두 수열을 되살려 더하기

두 수열은 1, 22, 43, 64와 1, 4, 16, 64로 z = 64를 공유하니, 요구된 다섯 값의 합은 149이다.

x+y+z+p+q = 22+43+64+4+16 = 149 → (E)

정답

149

되살린 두 수열은 모든 규칙을 만족한다. 1, 22, 43, 64는 공차 21로 순증가하고, 1, 4, 16, 64는 공비 4로 순증가하며, 둘은 마지막 항 64를 공유한다. r = 2와 r = 3은 3의 배수 조건에서 탈락하고, r은 정수 p와 같으므로 반드시 정수여서 4보다 작은 분수 공비가 끼어들 수 없다. 따라서 더 작은 z는 불가능하다. 합 149는 선택지 (E)이며, 가장 큰 값인데, 이는 끝점을 64까지 밀어 올려야 정수 규칙이 맞아떨어지는 문제와 어울린다.

💡핵심 정리

숨은 규칙마다 문자를 붙이고, 공유하는 끝점으로 둘을 한 방정식에 묶은 뒤, 그 끝점을 정수 규칙이 아직 허용하는 가장 작은 값까지 밀어 내려라.

등차의 한 걸음에 이름 붙이기
등비의 공비에 이름 붙이기
공유하는 끝점 잇기
가장 작은 z에는 가장 작은 r
공비를 차례로 확인하기
두 수열을 되살려 더하기