AMC 10 · 2025 · #11
학년 6 algebra수열 1,x,y,z는 등차수열이고, 수열 1,p,q,z는 등비수열이다. 두 수열은 모두 순증가하며 정수만을 항으로 가지고, z는 가능한 한 작다. x+y+z+p+q의 값은 얼마인가?
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 항짜리 수열 두 개가 모두 $1$에서 시작해 같은 값 $z$에서 끝난다. 하나는 등차수열(매번 같은 수를 더함)이고, 다른 하나는 등비수열(매번 같은 수를 곱함)이다. 둘 다 순증가하고 모든 항이 정수이다. $z$를 가능한 한 작게 만든 뒤 $x + y + z + p + q$를 구하여라.
주어진 것: 수열 $1, x, y, z$는 등차수열이다 — 매번 같은 수를 더한다; 수열 $1, p, q, z$는 등비수열이다 — 매번 같은 수를 곱한다; 두 수열 모두 순증가하고 모든 항이 정수이다; 두 수열은 첫 항 $1$과 마지막 항 $z$를 똑같이 공유한다; 가능한 모든 경우 중에서 $z$를 가장 작게 만든다; 선택지: (A) $66$, (B) $91$, (C) $103$, (D) $132$, (E) $149$
구하는 것: 합 $x + y + z + p + q$의 값
이해
문제 재정리: 네 항짜리 수열 두 개가 모두 $1$에서 시작해 같은 값 $z$에서 끝난다. 하나는 등차수열(매번 같은 수를 더함)이고, 다른 하나는 등비수열(매번 같은 수를 곱함)이다. 둘 다 순증가하고 모든 항이 정수이다. $z$를 가능한 한 작게 만든 뒤 $x + y + z + p + q$를 구하여라.
주어진 것: 수열 $1, x, y, z$는 등차수열이다 — 매번 같은 수를 더한다; 수열 $1, p, q, z$는 등비수열이다 — 매번 같은 수를 곱한다; 두 수열 모두 순증가하고 모든 항이 정수이다; 두 수열은 첫 항 $1$과 마지막 항 $z$를 똑같이 공유한다; 가능한 모든 경우 중에서 $z$를 가장 작게 만든다; 선택지: (A) $66$, (B) $91$, (C) $103$, (D) $132$, (E) $149$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #14 극단의 원리, #6 추측하고 확인하기
아직 수치가 하나도 없으니 숨은 두 규칙에 이름을 붙인다. 도구 #4(변수 도입하기): 등차수열이 더하는 양을 $d$, 등비수열이 곱하는 양을 $r$이라 하자. 그러면 두 수열의 모든 항이 $d$ 또는 $r$의 식이 되고, 둘을 잇는 유일한 사실 — 같은 $z$에서 끝난다는 것 — 이 하나의 방정식 $r^3 = 1 + 3d$로 바뀐다. 이 방정식이 전부다. 도구 #14(극단의 원리)는 "$z$를 가능한 한 작게"라는 조건을 다룬다. $z = r^3$은 $r$이 커질수록 커지므로, 가장 작은 $z$는 사용 가능한 가장 작은 $r$에서 나온다. 따라서 모든 항을 정수로 유지하는 첫 번째 공비만 찾으면 된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $r = 2, 3, 4, \dots$를 그 정수 조건에 하나씩 대보아 통과하는 것을 찾는다.
실행 — 정답: E
6.EE.A.2 단계 1 등차의 한 걸음에 이름 붙이기
- 등차수열은 $1$에서 시작해 매번 같은 양 $d$를 더한다.
- 그래서 네 항은 $1$, $1+d$, $1+2d$, $1+3d$이다.
- 이를 $1, x, y, z$에 맞추면 등차의 모든 항이 미지수 $d$ 하나의 식이 된다.
💡 같은 걸음을 반복하니 마지막 항은 시작에 걸음 세 번을 더한 것이다.
6.EE.A.1 단계 2 등비의 공비에 이름 붙이기
- 등비수열은 $1$에서 시작해 매번 같은 양 $r$을 곱한다.
- 그래서 네 항은 $1$, $r$, $r^2$, $r^3$이다.
- 이를 $1, p, q, z$에 맞추면 등비의 모든 항이 미지수 $r$의 거듭제곱이 된다.
- 항이 정수이고 첫 항이 $1$이므로, 공비 $r = p$ 자체가 정수이다.
💡 $r$을 세 번 곱하면 시작값 $1$이 $r^3$이 된다.
6.EE.B.7 단계 3 공유하는 끝점 잇기
- 두 수열은 똑같은 $z$에서 끝난다.
- $z$에 대한 두 식을 서로 같다고 놓으면 두 미지수가 하나의 방정식으로 묶이고, $d$에 대해 풀면 등비 쪽이 등차 쪽에 정확히 무엇을 요구하는지가 드러난다.
💡 마지막 항을 공유한다는 것이 두 규칙을 잇는 유일한 다리다.
4.OA.B.4 단계 4 가장 작은 z에는 가장 작은 r
- $z = r^3$은 $r$이 커질수록 커지므로, 가능한 가장 작은 $z$는 허용되는 가장 작은 $r$에서 나온다.
- 어떤 $r$이 허용될까?
- 식 $d = (r^3 - 1)/3$이 정수가 되어야 하므로 $r^3 - 1$이 $3$의 배수여야 한다.
- 이 나누어떨어짐 조건이 유일한 관문이므로, 이를 통과하는 첫 번째 공비 $r \ge 2$를 찾는다.
💡 공비가 커지면 끝점만 커지므로, 통과하는 가장 작은 공비를 택한다.
6.EE.A.1 단계 5 공비를 차례로 확인하기
- 후보를 작은 것부터 확인한다.
- 각 $r$을 세제곱해 $1$을 빼고, 그 결과가 $3$의 배수인지 묻는다.
- 처음 둘은 실패하고, $r = 4$가 처음으로 통과해 $d = 63/3 = 21$을 준다.
💡 공비를 순서대로 대보고 모든 항이 정수가 되는 첫 번째에서 멈춘다.
6.EE.A.2 단계 6 두 수열을 되살려 더하기
- $r = 4$, $d = 21$로 두 수열을 다 쓰고 요구된 다섯 값을 읽어낸다.
- 등차수열은 $1, 22, 43, 64$, 등비수열은 $1, 4, 16, 64$이며, 둘 다 순증가하는 정수이고 공유하는 $z = 64$에서 끝난다.
- 다섯 값을 더하면 답이 나온다.
💡 당첨된 $d$와 $r$을 다시 넣고 조각들을 합한다.
6.EE.A.2 등차수열은 $1$에서 시작해 매번 같은 양 $d$를 더한다. 그래서 네 항은 $1$, $1+d$, $1+2d$, $1+3d$이다. 이를 $1, 6.EE.A.1 등비수열은 $1$에서 시작해 매번 같은 양 $r$을 곱한다. 그래서 네 항은 $1$, $r$, $r^2$, $r^3$이다. 이를 $1, p, q 6.EE.B.7 두 수열은 똑같은 $z$에서 끝난다. $z$에 대한 두 식을 서로 같다고 놓으면 두 미지수가 하나의 방정식으로 묶이고, $d$에 대해 풀면 등비 4.OA.B.4 $z = r^3$은 $r$이 커질수록 커지므로, 가능한 가장 작은 $z$는 허용되는 가장 작은 $r$에서 나온다. 어떤 $r$이 허용될까? 식 6.EE.A.1 후보를 작은 것부터 확인한다. 각 $r$을 세제곱해 $1$을 빼고, 그 결과가 $3$의 배수인지 묻는다. 처음 둘은 실패하고, $r = 4$가 6.EE.A.2 $r = 4$, $d = 21$로 두 수열을 다 쓰고 요구된 다섯 값을 읽어낸다. 등차수열은 $1, 22, 43, 64$, 등비수열은 $1, 4 검토
합리성 확인: 되살린 두 수열은 모든 규칙을 만족한다. $1, 22, 43, 64$는 공차 $21$로 순증가하고, $1, 4, 16, 64$는 공비 $4$로 순증가하며, 둘은 마지막 항 $64$를 공유한다. $r = 2$와 $r = 3$은 $3$의 배수 조건에서 탈락하고, $r$은 정수 $p$와 같으므로 반드시 정수여서 $4$보다 작은 분수 공비가 끼어들 수 없다. 따라서 더 작은 $z$는 불가능하다. 합 $149$는 선택지 (E)이며, 가장 큰 값인데, 이는 끝점을 $64$까지 밀어 올려야 정수 규칙이 맞아떨어지는 문제와 어울린다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기)를 쓰면 $d$에 대한 대수 계산을 건너뛴다. 등비의 끝점은 세제곱수 $8, 27, 64, 125, \dots$이고, 등차의 끝점 $1 + 3d$는 정확히 $3$의 배수보다 $1$ 큰 수들, 즉 $4, 7, 10, 13, \dots$ — 다시 말해 $\equiv 1 \pmod 3$인 값들이다. 세제곱수 중 이 목록에 드는 첫 번째를 찾는다: $8 \equiv 2$, $27 \equiv 0$, $64 \equiv 1$. 그래서 $z = 64$가 공유되는 가장 작은 끝점이고, 나머지는 같은 방식으로 이어진다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (공차 $d$로부터 등차의 항 $1+d, 1+2d, 1+3d$을 쓰고, 당첨된 $d, r$을 대입해 $x+y+z+p+q$을 합산.)6.EE.A.1거듭제곱(자연수 지수)이 들어간 수식을 쓰고 계산하기 (등비의 항을 $r, r^2, r^3$으로 나타내고 공비를 시험할 때 세제곱 $2^3, 3^3, 4^3$을 계산.)6.EE.B.7$px = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 문제 해결하기 ($3d = r^3 - 1$을 공차 $d = (r^3 - 1)/3$에 대해 풀기.)4.OA.B.4약수 쌍을 모두 찾고 배수를 알아보며 소수·합성수 판별하기 ($d$가 정수가 되도록 $r^3 - 1$이 $3$의 배수인지 확인하고, 통과하는 가장 작은 공비가 $r = 4$임을 찾기.)
⭐ 숨은 규칙마다 문자를 붙이고, 공유하는 끝점으로 둘을 한 방정식에 묶은 뒤, 그 끝점을 정수 규칙이 아직 허용하는 가장 작은 값까지 밀어 내려라.
⭐ 숨은 규칙마다 문자를 붙이고, 공유하는 끝점으로 둘을 한 방정식에 묶은 뒤, 그 끝점을 정수 규칙이 아직 허용하는 가장 작은 값까지 밀어 내려라.
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