AMC 10 · 2025 · #12
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
'몇 가지인가'를 묻는 세기 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 중심이다. 각 자리에 역할을 정한 뒤, 서로 독립인 선택의 수를 곱한다. 그런데 세기 전에 1–9에서 '짝수'와 '소수'가 어떻게 겹치는지 알아야 하는데, 이는 바로 '둘 다 / 둘 다 아님'으로 분류하는 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)의 일이다. 이 분류가 함정 숫자 2, 즉 겹치는 부분에 홀로 놓인 수를 드러낸다. 2는 혼자서 두 조건을 모두 만족할 수 있으므로 세기가 깔끔하게 분리되고, 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 2가 나오는지 여부에 따라 경우를 나눈 뒤 마지막에 더한다.
숫자를 짝수·소수로 분류하기
1부터 9까지의 각 숫자에 짝수인지, 소수인지 표시하면 아홉 숫자가 네 무리로 갈린다.
각 숫자에 '짝수?'와 '소수?' 딱지를 붙이고 나면, 문제는 그저 각 무리에 몇 개가 들어가는지의 이야기가 된다.
4.OA.B.4Draw A Venn Diagram두 자리를 동시에 채우는 숫자 찾기
짝수이면서 소수인 수는 2뿐이라, 2 하나가 짝수 자리와 소수 자리를 동시에 채운다. 이 겹침 탓에 경우를 나눠야 한다.
두 원이 겹치는 부분의 수는 1인 2역을 하므로 다른 모든 숫자와 다르게 움직인다.
2.OA.C.3Draw A Venn Diagram경우 1 — 2를 쓰지 않음
2가 없으면 짝수 자리와 값, 소수 자리와 값을 고르고 남은 두 자리를 1 또는 9로 채워 432가지다.
각 자리에 임무를 하나씩 맡긴 뒤, 서로 독립인 선택의 수를 곱한다.
7.SP.C.8Make A Systematic List경우 2 — 2를 정확히 하나 씀
2 하나가 두 조건을 다 채우니 나머지 세 자리는 모두 1 또는 9여야 하고, 4 곱하기 8로 32가지다.
외로운 2 하나가 두 규칙을 다 만족하니, 나머지는 모두 해를 끼치지 않는 1이나 9여야 한다.
한 숫자가 두 규칙을 동시에 만족하므로, 그것만 따로 다뤄야 한다.
▸ 왜?
두 조건이 겹치는 곳의 숫자는 조건을 그냥 더하면 두 번 세어진다.
▸ 왜?
그 숫자를 쓰는지로 가르면 경우가 겹치지 않으므로, 개수가 그냥 더해진다.
두 경우를 더하기
두 경우는 겹치지 않고 모든 비밀번호를 덮으므로 더한다. 432 더하기 32는 464다.
서로 겹치지 않는 경우들은 그냥 더해서 합친다.
7.SP.C.8Identify Subproblems두 규칙을 동시에 만족하는 숫자를 조심하라(2는 짝수이자 소수다). '그 숫자가 나오는 경우'와 '나오지 않는 경우'로 나눠 각각 센 뒤 더하면 된다.
- 숫자를 짝수·소수로 분류하기
- 두 자리를 동시에 채우는 숫자 찾기
- 경우 1 — 2를 쓰지 않음
- 경우 2 — 2를 정확히 하나 씀
- 두 경우를 더하기