AMC 10 · 2025 · #12

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

systematic-enumerationprime-numbersparity casework ↑ 선수 지식: prime-numberssystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

카를로스는 컴퓨터 잠금을 풀기 위해 $4$ 자리 비밀번호를 사용한다. 그의 비밀번호에서 정확히 한 자리 숫자가 짝수이고, 정확히 한 자리 숫자(같을 수도 있음)가 소수이며, $0$ 인 자리는 없다. 이 조건을 만족하는 $4$ 자리 비밀번호는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

176

(B)

192

(C)

432

(D)

464

(E)

608

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 비밀번호는 $1$부터 $9$까지의 숫자($0$은 없음) $4$개를 순서대로 늘어놓은 것이다. 네 숫자 중 짝수는 정확히 하나, 소수도 정확히 하나이며, 짝수인 자리와 소수인 자리는 같을 수도 다를 수도 있다. 이러한 비밀번호가 몇 개인지 구하여라.

주어진 것: 비밀번호는 $4$개의 자리로 이루어지고, 순서가 중요하다(집합이 아니라 코드다); 각 숫자는 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 중에서 고르며 $0$은 쓸 수 없다; 네 숫자 중 짝수는 정확히 하나이다; 네 숫자 중 소수는 정확히 하나이다; 선택지: (A) $176$, (B) $192$, (C) $432$, (D) $464$, (E) $608$

구하는 것: '짝수 정확히 하나'와 '소수 정확히 하나' 조건을 모두 만족하는 $4$자리 비밀번호의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #12 벤 다이어그램 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

'몇 가지인가'를 묻는 세기 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 중심이다. 각 자리에 역할을 정한 뒤, 서로 독립인 선택의 수를 곱한다. 그런데 세기 전에 $1$–$9$에서 '짝수'와 '소수'가 어떻게 겹치는지 알아야 하는데, 이는 바로 '둘 다 / 둘 다 아님'으로 분류하는 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)의 일이다. 이 분류가 함정 숫자 $2$, 즉 겹치는 부분에 홀로 놓인 수를 드러낸다. $2$는 혼자서 두 조건을 모두 만족할 수 있으므로 세기가 깔끔하게 분리되고, 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $2$가 나오는지 여부에 따라 경우를 나눈 뒤 마지막에 더한다.

실행 — 정답: D

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.B.4 단계 1

숫자를 짝수·소수로 분류하기

쓸 수 있는 숫자 $1$–$9$를 짝수/홀수인지, 소수인지 아닌지로 표시한다.
짝수는 $2,4,6,8$, 홀수는 $1,3,5,7,9$이다.
소수는 $2,3,5,7$이다($1$은 소수가 아니고 $9=3\times3$도 소수가 아님).
두 표시를 함께 붙이면 아홉 숫자가 네 무리로 갈린다.

$$\text{짝수-비소수}=\{4,6,8\},\quad \text{짝수이자 소수}=\{2\},\quad \text{홀수 소수}=\{3,5,7\},\quad \text{둘 다 아님}=\{1,9\}$$

💡 각 숫자에 '짝수?'와 '소수?' 딱지를 붙이고 나면, 문제는 그저 각 무리에 몇 개가 들어가는지의 이야기가 된다.

#12 벤 다이어그램 그리기 2.OA.C.3 단계 2

두 자리를 동시에 채우는 숫자 찾기

$2$는 짝수이면서 소수인 유일한 숫자이므로, $2$를 쓰면 그 하나가 '짝수 하나'와 '소수 하나'를 동시에 채운다.
다른 짝수($4,6,8$)는 짝수 자리만, 다른 소수($3,5,7$)는 소수 자리만 채우고, 둘 다 아닌 숫자($1,9$)는 어느 자리도 채우지 않는다.
이 겹침 때문에 세기를 두 경우로 나누어야 한다.

$$2 \in (\text{짝수}) \cap (\text{소수})$$

💡 두 원이 겹치는 부분의 수는 1인 2역을 하므로 다른 모든 숫자와 다르게 움직인다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

경우 1 — $2$를 쓰지 않음

$2$가 없으면 유일한 짝수는 $\{4,6,8\}$에서, 유일한 소수는 $\{3,5,7\}$에서 나와야 하며 이 둘은 서로 다른 자리이고, 나머지 두 자리는 짝수도 소수도 아니어야 하므로 각각 $\{1,9\}$에서 고른다.
자리를 먼저 정하고 값을 정해 센다.
$4$개 자리 중 짝수 자리를 고르고($4$가지) 값을 정하고($3$가지), 남은 $3$개 자리 중 소수 자리를 고르고($3$가지) 값을 정하고($3$가지), 마지막 두 자리를 각각 $\{1,9\}$에서 채운다($2\times2=4$가지).

$$4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 432$$

💡 각 자리에 임무를 하나씩 맡긴 뒤, 서로 독립인 선택의 수를 곱한다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

경우 2 — $2$를 정확히 하나 씀

$2$ 하나만으로 이미 짝수 하나와 소수 하나가 채워지므로, 나머지는 짝수도 소수도 아니어야 한다.
즉 다른 세 자리는 모두 둘 다 아닌 수, 곧 $1$ 또는 $9$이어야 한다.
($2$가 둘이면 짝수 둘·소수 둘이 되어 안 되므로 $2$는 정확히 하나다.) $4$개 자리 중 $2$가 놓일 자리를 고르고($4$가지), 나머지 세 자리를 각각 $\{1,9\}$에서 채운다($2^3=8$가지).

$$4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32$$

💡 외로운 $2$ 하나가 두 규칙을 다 만족하니, 나머지는 모두 해를 끼치지 않는 $1$이나 $9$여야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 5

두 경우를 더하기

두 경우($2$ 없음 / $2$ 정확히 하나)는 서로 겹치지 않으면서 모든 올바른 비밀번호를 빠짐없이 덮으므로, 두 개수를 더해 전체를 얻는다.

$$432 + 32 = 464 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 서로 겹치지 않는 경우들은 그냥 더해서 합친다.

[1] #12 4.OA.B.4 쓸 수 있는 숫자 $1$–$9$를 짝수/홀수인지, 소수인지 아닌지로 표시한다. 짝수는 $2,4,6,8$, 홀수는 $1,3,5,7,9$이다. 소수

[2] #12 2.OA.C.3 $2$는 짝수이면서 소수인 유일한 숫자이므로, $2$를 쓰면 그 하나가 '짝수 하나'와 '소수 하나'를 동시에 채운다. 다른 짝수($4,6,8$

[3] #2 7.SP.C.8 $2$가 없으면 유일한 짝수는 $\{4,6,8\}$에서, 유일한 소수는 $\{3,5,7\}$에서 나와야 하며 이 둘은 서로 다른 자리이고, 나머

[4] #2 7.SP.C.8 $2$ 하나만으로 이미 짝수 하나와 소수 하나가 채워지므로, 나머지는 짝수도 소수도 아니어야 한다. 즉 다른 세 자리는 모두 둘 다 아닌 수,

[5] #7 7.SP.C.8 두 경우($2$ 없음 / $2$ 정확히 하나)는 서로 겹치지 않으면서 모든 올바른 비밀번호를 빠짐없이 덮으므로, 두 개수를 더해 전체를 얻는다.

검토

합리성 확인: 개수는 경우 1의 $432$가 대부분을 차지하는데, 이는 정확히 선택지 (C)이다. 바로 $2$가 짝수이면서 소수임을 잊었을 때 나오는 유혹적인 오답이다. 추가된 $32$개의 비밀번호는 $2$ 하나에 $1$과 $9$를 채워 만든 것들이며, 이 때문에 참값이 $464$, 곧 (D)로 올라간다. 전체 $464$는 아무 제한이 없을 때의 $9^4=6561$개보다 훨씬 작고 $608$보다도 작으므로, 이렇게 빡빡한 '정확히 하나' 조건에 걸맞은 크기다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건 세기)으로 점검할 수 있다. 자리를 먼저 정하는 대신 두 특별한 숫자를 먼저 고른다. 짝수의 값과 자리, 소수의 값과 자리를 고르되, 짝수 값이 $2$일 때는 같은 자리가 소수 역할도 함에 유의하고, 남은 자리는 $\{1,9\}$에서 채우도록 한다. $2$의 겹침을 같은 방식으로 정리하면 $432+32=464$가 다시 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 알아보며, 소수인지 합성수인지 판정하기 ($1$–$9$ 중 어느 숫자가 소수($2,3,5,7$)이고 어느 것이 아닌지($1$과 $9=3\times3$) 판정해 숫자를 올바르게 분류하는 데 사용.)
2.OA.C.3 한 무리의 개수가 홀수인지 짝수인지 판정하기 (각 숫자를 짝수·홀수로 표시하고, $2$가 짝수이면서 소수인 유일한 숫자임을 알아내는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직적인 목록·표·모의실험으로 복합 사건의 경우의 수 구하기 (경우를 나누고 곱셈 원리로 배열을 세어($432$와 $32$) 서로 겹치지 않는 경우들을 더해 $464$를 얻는 데 사용.)

⭐ 두 규칙을 동시에 만족하는 숫자를 조심하라($2$는 짝수이자 소수다). '그 숫자가 나오는 경우'와 '나오지 않는 경우'로 나눠 각각 센 뒤 더하면 된다.