AMC 10 · 2025 · #15

학년 8 geometry-2d

similar-trianglespythagorean-theoremsystems-of-equationsarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에서 ABEF는 AB=1, AF=7인 직사각형이다. 길이 5인 선분 AD가 A에서 점 D까지 내려가고, AD ⊥ DE이다. 직사각형의 비스듬한 변 BE가 AD와 점 C에서 만난다. △ ABC의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{8}$

(B)

$\frac{4}{9}$

(C)

$\frac{1}{8}\sqrt{13}$

(D)

$\frac{7}{15}$

(E)

$\frac{1}{8}\sqrt{15}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

△ ABC의 넓이를 구하려면 변 BC가 필요한데, BC는 만나는 점 C 속에 숨어 있다. 이 교차로 인해 두 삼각형 △ ABC와 △ EDC가 생기고, 둘은 C에서 맞꼭지각을 공유하며 각각 직각을 가지므로 닮음이다. 도구 #4(변수 도입하기)가 핵심 엔진이다. 두 미지의 조각 BC와 AC에 이름을 붙이고, 닮음비와 '길이가 더해진다'는 두 사실을 두 개의 일차방정식으로 바꿔 푼다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 먼저 피타고라스 정리로 DE를 구하는 작은 문제를 떼어내어 닮음비를 확정한다. 도구 #1(그림 그리기)은 어느 선분이 어느 직선 위에 있는지 추적해 한 직선 위 길이의 합을 올바르게 쓰게 해 준다.

1STEP 1

직사각형과 대각선 읽기

마주 보는 변이 같으므로 BE=7. 대각선 AE를 그으면 △ ABE는 B에서 직각이고 변이 1, 7이므로 피타고라스로 AE가 나온다.

AE=√(AB²+BE²)=√(1²+7²)=√(50)

2STEP 2

DE 구하기

△ ADE는 D에서 직각이므로 빗변 AE=√(50)과 변 AD=5로 피타고라스를 쓰면 DE=5가 남는다.

DE=√(AE²-AD²)=√(50-25)=√(25)=5

3STEP 3

닮은 삼각형 찾기

C에서 △ ABC와 △ EDC는 각각 직각(B, D)을 가지고 맞꼭지각도 같으므로 AA 닮음이고 AB:ED=1:5이다.

△ ABC ∼ △ EDC, AB:ED=1:5

4STEP 4

미지의 조각에 이름 붙여 식 세우기

BC=x, AC=y라 하면 비 1:5로 DC=5x, EC=5y이고, AC+CD=5와 BC+CE=7이 두 방정식을 준다.

y+5x=5 그리고 x+5y=7

5STEP 5

연립방정식 풀기

첫 식의 y=5-5x를 둘째 식에 대입해 풀면 필요한 변은 BC=3/4이다.

x+5(5-5x)=7 → x+25-25x=7 → -24x=-18 → x=3/4

6STEP 6

넓이 계산하기

△ ABC는 B에서 직각이므로 두 변 AB=1과 BC=3/4이 밑변과 높이이고, 넓이는 그 곱의 절반이다.

[△ ABC]=1/2 · AB · BC=1/2 · 1·3/4=3/8 → (A)

정답

3/8

x=3/4을 다시 대입하면 AC=y=5-5·3/4=5/4이고 EC=5y=25/4이다. BE 길이를 확인하면 BC+EC=3/4+25/4=7=BE로 맞는다. 또 △ ABC는 피타고라스 정리를 만족해야 한다: AB²+BC²=1+9/16=25/16=(5/4)²=AC²로 AC=5/4과 일관된다. 넓이 3/8은 작고 깔끔한 분수로, B 근처 모서리에 끼어 있는 작은 삼각형에 어울리며 선택지 (A)이다.

💡핵심 정리

두 선이 만나면 같은 맞꼭지각에서 닮은 삼각형 한 쌍을 찾아라. 숨은 조각에 이름을 붙이고 두 식을 세워 풀면 된다.

직사각형과 대각선 읽기
DE 구하기
닮은 삼각형 찾기
미지의 조각에 이름 붙여 식 세우기
연립방정식 풀기
넓이 계산하기