AMC 10 · 2025 · #15

학년 8 geometry-2d

similar-trianglespythagorean-theoremsystems-of-equationsarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림에서 $ABEF$ 는 직사각형이고, $\overline{AD}\perp\overline{DE}$ , $AF=7$ , $AB=1$ , $AD=5$ 이다.

$\triangle ABC$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{8}$

(B)

$\frac{4}{9}$

(C)

$\frac{1}{8}\sqrt{13}$

(D)

$\frac{7}{15}$

(E)

$\frac{1}{8}\sqrt{15}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 그림에서 $ABEF$는 $AB=1$, $AF=7$인 직사각형이다. 길이 $5$인 선분 $\overline{AD}$가 $A$에서 점 $D$까지 내려가고, $\overline{AD}\perp\overline{DE}$이다. 직사각형의 비스듬한 변 $\overline{BE}$가 $\overline{AD}$와 점 $C$에서 만난다. $\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.

주어진 것: $ABEF$는 직사각형이므로 마주 보는 변의 길이가 같고 네 모서리가 모두 직각이다; $AB=1$이고 $AF=7$이므로 마주 보는 변 $BE=7$이다; $AD=5$이고 $\overline{AD}\perp\overline{DE}$이므로 $\angle ADE=90^\circ$이다; $C$는 변 $\overline{BE}$가 $\overline{AD}$와 만나는 점이므로 $A$, $C$, $D$가 한 직선 위에 있고 $B$, $C$, $E$도 한 직선 위에 있다; 선택지: (A) $\tfrac{3}{8}$, (B) $\tfrac{4}{9}$, (C) $\tfrac{1}{8}\sqrt{13}$, (D) $\tfrac{7}{15}$, (E) $\tfrac{1}{8}\sqrt{15}$

구하는 것: $\triangle ABC$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

$\triangle ABC$의 넓이를 구하려면 변 $BC$가 필요한데, $BC$는 만나는 점 $C$ 속에 숨어 있다. 이 교차로 인해 두 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle EDC$가 생기고, 둘은 $C$에서 맞꼭지각을 공유하며 각각 직각을 가지므로 닮음이다. 도구 #4(변수 도입하기)가 핵심 엔진이다. 두 미지의 조각 $BC$와 $AC$에 이름을 붙이고, 닮음비와 '길이가 더해진다'는 두 사실을 두 개의 일차방정식으로 바꿔 푼다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 먼저 피타고라스 정리로 $DE$를 구하는 작은 문제를 떼어내어 닮음비를 확정한다. 도구 #1(그림 그리기)은 어느 선분이 어느 직선 위에 있는지 추적해 한 직선 위 길이의 합을 올바르게 쓰게 해 준다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 1

직사각형과 대각선 읽기

직사각형 $ABEF$에서 마주 보는 변의 길이가 같으므로 $BE=AF=7$이다.
대각선 $\overline{AE}$를 그린다.
$B$의 모서리는 직각이므로 $\triangle ABE$는 $B$에서 직각이고 변이 $AB=1$, $BE=7$이다.
피타고라스 정리로 대각선을 구한다.

$$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}$$

💡 직사각형은 두 변과 대각선으로 이루어진 직각삼각형을 공짜로 내어준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

DE 구하기

이제 $\triangle ADE$를 보자.
$\overline{AD}\perp\overline{DE}$이므로 $D$에서 직각이고, 빗변은 $\overline{AE}$, 한 변은 $AD=5$이다.
1단계에서 구한 같은 대각선 $\overline{AE}=\sqrt{50}$을 써서 피타고라스 정리로 $DE$를 마무리한다.

$$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{50-25}=\sqrt{25}=5$$

💡 직각삼각형의 빗변과 한 변을 알면 나머지 변은 자동으로 정해진다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 3

닮은 삼각형 찾기

만나는 점 $C$에서 $\triangle ABC$와 $\triangle EDC$를 비교한다.
$B$의 각은 직각(직사각형 모서리)이고 $D$의 각도 직각(주어진 $\overline{AD}\perp\overline{DE}$)이므로 서로 대응한다.
$C$의 두 각은 맞꼭지각이므로 역시 같다.
같은 각 쌍이 둘이면 AA(각-각) 판정에 의해 두 삼각형은 닮음이다.
같은 각을 맞추면 대응이 $A\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow C$이고 비는 $AB:ED=1:5$이다.

$$\triangle ABC\sim\triangle EDC,\quad AB:ED=1:5$$

💡 직각 두 개에 공유하는 맞꼭지각이 더해지면 닮은 삼각형 한 쌍이 반드시 생긴다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 4

미지의 조각에 이름 붙여 식 세우기

$BC=x$, $AC=y$라 하자.
닮은 삼각형에서 대응하는 변의 비는 $1:5$이므로 $\triangle EDC$의 변은 $\triangle ABC$의 대응 변의 $5$배이다.
즉 $DC=5x$, $EC=5y$이다.
두 개의 한 직선 위 사실이 설정을 마무리한다.
$\overline{AD}$ 위에서 조각 $AC$와 $CD$의 합은 $AD=5$이다.
$\overline{BE}$ 위에서 조각 $BC$와 $CE$의 합은 $BE=7$이다.

$$y+5x=5 \quad\text{그리고}\quad x+5y=7$$

💡 배율 $5$가 각 미지수를 그 짝으로 바꾸어, 두 선분이 두 방정식이 된다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 5

연립방정식 풀기

첫 식에서 $y=5-5x$이다.
이를 둘째 식에 대입해 $x$에 대해 풀면, 그것이 우리가 필요한 변 $BC$이다.

$$x+5(5-5x)=7 \;\Rightarrow\; x+25-25x=7 \;\Rightarrow\; -24x=-18 \;\Rightarrow\; x=\tfrac{3}{4}$$

💡 대입은 두 방정식을 미지수 하나짜리로 접어 바로 풀 수 있게 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 6

넓이 계산하기

$\triangle ABC$는 $B$에서 직각이므로 두 변 $AB=1$과 $BC=\tfrac{3}{4}$이 밑변과 높이이다.
넓이는 두 변의 곱의 절반이다.

$$[\triangle ABC]=\tfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{8}\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 직각삼각형은 두 변이 밑변과 높이이므로 넓이는 그 곱의 절반일 뿐이다.

[1] #7 8.G.B.7 직사각형 $ABEF$에서 마주 보는 변의 길이가 같으므로 $BE=AF=7$이다. 대각선 $\overline{AE}$를 그린다. $B$의 모서리는

[2] #7 8.G.B.7 이제 $\triangle ADE$를 보자. $\overline{AD}\perp\overline{DE}$이므로 $D$에서 직각이고, 빗변은 $\o

[3] #1 8.G.A.5 만나는 점 $C$에서 $\triangle ABC$와 $\triangle EDC$를 비교한다. $B$의 각은 직각(직사각형 모서리)이고 $D$의

[4] #4 8.G.A.4 $BC=x$, $AC=y$라 하자. 닮은 삼각형에서 대응하는 변의 비는 $1:5$이므로 $\triangle EDC$의 변은 $\triangle

[5] #4 8.EE.C.8 첫 식에서 $y=5-5x$이다. 이를 둘째 식에 대입해 $x$에 대해 풀면, 그것이 우리가 필요한 변 $BC$이다.

[6] #7 6.G.A.1 $\triangle ABC$는 $B$에서 직각이므로 두 변 $AB=1$과 $BC=\tfrac{3}{4}$이 밑변과 높이이다. 넓이는 두 변의 곱

검토

합리성 확인: $x=\tfrac{3}{4}$을 다시 대입하면 $AC=y=5-5\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4}$이고 $EC=5y=\tfrac{25}{4}$이다. $\overline{BE}$ 길이를 확인하면 $BC+EC=\tfrac{3}{4}+\tfrac{25}{4}=7=BE$로 맞는다. 또 $\triangle ABC$는 피타고라스 정리를 만족해야 한다: $AB^2+BC^2=1+\tfrac{9}{16}=\tfrac{25}{16}=\left(\tfrac{5}{4}\right)^2=AC^2$로 $AC=\tfrac{5}{4}$과 일관된다. 넓이 $\tfrac{3}{8}$은 작고 깔끔한 분수로, $B$ 근처 모서리에 끼어 있는 작은 삼각형에 어울리며 선택지 (A)이다.

대안 접근: 닮음을 쓰지 않고 좌표로 풀 수도 있다. $D=(0,0)$, $E=(5,0)$, $A=(0,5)$로 놓으면 $\overline{AD}$가 $y$축 위에 있고 $\overline{AD}\perp\overline{DE}$가 저절로 성립한다. 직사각형 모서리 조건($AB=1$, $BE=7$, $B$에서 직각)에 의해 $B=(-\tfrac{3}{5},\tfrac{21}{5})$이다. 그러면 직선 $\overline{BE}$가 $y$축(즉 $\overline{AD}$)과 $C=(0,\tfrac{15}{4})$에서 만난다. 따라서 $BC=\sqrt{\left(\tfrac{3}{5}\right)^2+\left(\tfrac{21}{5}-\tfrac{15}{4}\right)^2}=\tfrac{3}{4}$로 닮음 풀이와 같고, 넓이도 다시 $\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{8}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 미지의 변 길이 구하기 (직각삼각형 $ABE$에서 대각선 $AE=\sqrt{50}$을 구하고, 이어 직각삼각형 $ADE$에서 $DE=5$를 구함.)
8.G.A.5 비형식적 논증으로 각의 합과 외각에 관한 사실 세우기 ($C$에서의 두 직각과 같은 맞꼭지각(각-각 판정)을 이용해 $\triangle ABC\sim\triangle EDC$를 결론지음.)
8.G.A.4 변환을 이용해 두 이차원 도형이 닮음임을 이해하기 ($1:5$ 닮음비를 $DC=5\,BC$, $EC=5\,AC$로 바꿔 미지의 두 선분을 연결함.)
8.EE.C.8 두 일차방정식의 연립을 분석하고 풀기 (연립 $y+5x=5$, $x+5y=7$을 대입으로 풀어 $BC=\tfrac{3}{4}$을 얻음.)
6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 (직각삼각형 $ABC$의 넓이를 두 변 $AB$와 $BC$ 곱의 절반으로 계산함.)

⭐ 두 선이 만나면 같은 맞꼭지각에서 닮은 삼각형 한 쌍을 찾아라. 숨은 조각에 이름을 붙이고 두 식을 세워 풀면 된다.