AMC 10 · 2025 · #17

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

gcdmodular-arithmeticdivisibility-rulesfactors bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: gcddivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$273436$ 을 $N$ 으로 나누면 나머지가 $16$ 이고 $272760$ 을 $N$ 으로 나누면 나머지가 $15$ 가 되는 유일한 양의 정수를 $N$ 이라 하자. $N$ 의 십의 자리 숫자는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 하나의 양의 정수 N이 두 조건을 모두 만족한다. 273436을 N으로 나누면 나머지가 16이고, 272760을 N으로 나누면 나머지가 15이다. 이 N의 십의 자리 숫자를 구하라.

주어진 것: 273436을 N으로 나누면 나머지가 16이다; 272760을 N으로 나누면 나머지가 15이다; N은 두 조건을 모두 만족하는 유일한 양의 정수이다

구하는 것: N의 십의 자리 숫자

이해

주어진 것: 273436을 N으로 나누면 나머지가 16이다; 272760을 N으로 나누면 나머지가 15이다; N은 두 조건을 모두 만족하는 유일한 양의 정수이다

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

'나머지가 남는다'는 말은 그대로 쓰기 어려우니, 먼저 나머지를 빼서 N이 딱 나누어떨어지게 하는 수로 바꾼다. N이 두 수를 나누면 두 수의 차도 나누므로 거대한 수가 작은 수로 줄어든다. 가장 큰 N을 찾는 일은 최대공약수를 구하는 작은 문제가 되고, 마지막에 N > 16이라는 규칙이 약수들 중 하나만 남긴다.

실행 — 정답: E

#13 대수로 바꾸기 4.NBT.B.6 단계 1

나머지를 정확한 나눗셈으로 바꾸기

어떤 수를 N으로 나눈 나머지가 r이면, 그 수에서 r을 뺀 값은 N의 배수이다.
각 나머지를 빼서 N이 나누어떨어지게 하는 수를 얻는다.

$$N \mid (273436 - 16) = 273420, \qquad N \mid (272760 - 15) = 272745$$

💡 나머지는 N을 온전히 채우고 남은 조각이므로, 그 조각을 없애면 N이 정확히 쌓인 값만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

N은 두 수의 차도 나눈다

N이 273420과 272745를 모두 나누므로 두 수의 차도 나눈다.
빼기를 하면 두 거대한 수가 N이 반드시 나누어야 하는 하나의 작은 수로 바뀐다.

$$N \mid (273420 - 272745) = 675$$

💡 두 수가 모두 N의 묶음이면, 그 사이의 간격도 N이 정수 개만큼 들어간 값이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 3

최대공약수 구하기

N은 675와 272745를 모두 나누므로 두 수의 최대공약수를 나눈다.
나눗셈을 반복하는 유클리드 호제법을 쓰면 272745 = 675 x 404 + 45, 이어서 675 = 45 x 15로 나머지가 0이 되어 최대공약수는 45이다.
따라서 모든 유효한 N은 45를 나눈다.

$$\gcd(272745, 675) = \gcd(675, 45) = 45$$

💡 나머지를 따라 나눗셈을 계속 내려가면 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수에 도달한다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

나머지 규칙으로 N 정하기

45의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 45이다.
나머지가 16이려면 나누는 수가 16보다 커야 하므로 N > 16이다.
45의 약수 중 16보다 큰 것은 45뿐이므로 N = 45이다.

45\text{의 약수}: 1, 3, 5, 9, 15, 45; \quad N > 16 \Rightarrow N = 45

💡 나머지는 나누는 수에 결코 도달할 수 없으므로, 나머지 16은 나누는 수를 16 너머로 밀어내며 작은 약수들을 모두 지운다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.A.1 단계 5

십의 자리 숫자 읽기

N = 45이다.
십의 자리 숫자는 4이므로 답은 (E)이다.

45 = 4 \text{ 십} + 5 \text{ 일} \Rightarrow \text{십의 자리} = 4

💡 두 자리 수에서 왼쪽 숫자는 십의 개수를 세므로 45에는 십이 4개 있다.

[1] #13 4.NBT.B.6 어떤 수를 N으로 나눈 나머지가 r이면, 그 수에서 r을 뺀 값은 N의 배수이다. 각 나머지를 빼서 N이 나누어떨어지게 하는 수를 얻는다.

[2] #7 6.NS.B.4 N이 273420과 272745를 모두 나누므로 두 수의 차도 나눈다. 빼기를 하면 두 거대한 수가 N이 반드시 나누어야 하는 하나의 작은 수로

[3] #7 4.NBT.B.6 N은 675와 272745를 모두 나누므로 두 수의 최대공약수를 나눈다. 나눗셈을 반복하는 유클리드 호제법을 쓰면 272745 = 675 x 4

[4] #3 4.OA.B.4 45의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 45이다. 나머지가 16이려면 나누는 수가 16보다 커야 하므로 N > 16이다. 45의 약수 중 1

[5] #3 2.NBT.A.1 N = 45이다. 십의 자리 숫자는 4이므로 답은 (E)이다.

검토

합리성 확인: N = 45를 직접 확인한다. 273420 / 45 = 6076으로 나누어떨어지므로 273436 = 45 x 6076 + 16, 나머지 16이다. 또 272745 / 45 = 6061로 나누어떨어지므로 272760 = 45 x 6061 + 15, 나머지 15이다. 두 원래 조건이 모두 성립하고 45 > 16이므로 나머지 16도 정당하다. N = 45가 유일한 답이며 십의 자리 숫자는 4이다.

대안 접근: 차를 쓰지 않고 각 수를 인수분해할 수도 있다. 273420 = 45 x 6076, 272745 = 45 x 6061이고 6076과 6061의 공약수는 1뿐이다. 따라서 두 수의 공약수는 gcd(273420, 272745) = 45의 약수들과 정확히 같고, 나누는 수가 16보다 커야 한다는 조건이 다시 N = 45로 고정한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (각 나머지 조건을 정확한 배수로 바꾸고 유클리드 호제법의 나눗셈을 수행)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers (N을 공약수로 인식하고 두 배수의 최대공약수 문제로 축소)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (45의 약수를 나열해 크기 규칙과 대조)
2.NBT.A.1 Understand that the three digits of a three-digit number represent hundreds, tens, and ones (45의 십의 자리 숫자 읽기)

⭐ 각 나머지를 빼서 정확한 배수를 만들고, 두 배수의 차와 그 최대공약수로 N을 가둔 뒤, '나머지는 나누는 수보다 작다'는 규칙으로 딱 맞는 것을 고른다.