AMC 10 · 2025 · #17
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
'나머지가 남는다'는 말은 그대로 쓰기 어려우니, 먼저 나머지를 빼서 N이 딱 나누어떨어지게 하는 수로 바꾼다. N이 두 수를 나누면 두 수의 차도 나누므로 거대한 수가 작은 수로 줄어든다. 가장 큰 N을 찾는 일은 최대공약수를 구하는 작은 문제가 되고, 마지막에 N ＞ 16이라는 규칙이 약수들 중 하나만 남긴다.
나머지를 정확한 나눗셈으로 바꾸기
나머지가 r이면 원래 수에서 r을 뺀 값이 N의 배수이므로 273420과 272745를 얻는다.
나머지는 N을 온전히 채우고 남은 조각이므로, 그 조각을 없애면 N이 정확히 쌓인 값만 남는다.
4.NBT.B.6Convert To AlgebraN은 두 수의 차도 나눈다
N이 두 수를 모두 나누므로 그 차도 나눈다. 273420 - 272745 = 675.
두 수가 모두 N의 묶음이면, 그 사이의 간격도 N이 정수 개만큼 들어간 값이다.
두 수가 모두 그 수의 온전한 묶음이라면, 그 사이의 차도 그렇다.
▸ 왜?
같은 단위로 지어진 두 양을 빼면 그 단위로 지어진 양이 남는다.
▸ 왜?
그러므로 그 차는 나머지 없이 딱 나누어떨어진다.
최대공약수 구하기
유클리드 호제법으로 272745 = 675 x 404 + 45, 675 = 45 x 15이므로 최대공약수는 45다.
나머지를 따라 나눗셈을 계속 내려가면 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수에 도달한다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems나머지 규칙으로 N 정하기
45의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 45. 나머지 16이려면 N ＞ 16이어야 하므로 N = 45다.
나머지는 나누는 수에 결코 도달할 수 없으므로, 나머지 16은 나누는 수를 16 너머로 밀어내며 작은 약수들을 모두 지운다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities십의 자리 숫자 읽기
N = 45이다. 십의 자리 숫자는 4이므로 답은 (E)이다.
두 자리 수에서 왼쪽 숫자는 십의 개수를 세므로 45에는 십이 4개 있다.
2.NBT.A.1Eliminate Possibilities각 나머지를 빼서 정확한 배수를 만들고, 두 배수의 차와 그 최대공약수로 N을 가둔 뒤, '나머지는 나누는 수보다 작다'는 규칙으로 딱 맞는 것을 고른다.
- 나머지를 정확한 나눗셈으로 바꾸기
- N은 두 수의 차도 나눈다
- 최대공약수 구하기
- 나머지 규칙으로 N 정하기
- 십의 자리 숫자 읽기