AMC 10 · 2025 · #18

학년 7 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
vieta-formulasquadratic-equationsfraction-arithmetic easier-related-problem ↑ 선수 지식: vieta-formulasquadratic-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
여러 수의 조화평균은 그 수들의 역수의 평균을 다시 역수로 취한 값이다. 차수가 4050인 커다란 다항식이 2025개의 이차식의 곱으로 주어지는데, k번째 인수는 k*x² - 4x - 3이고 k는 1부터 2025까지 움직인다. 이 다항식의 모든 실근의 조화평균을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$-\frac{5}{3}$
(B)
$-\frac{3}{2}$
(C)
$-\frac{6}{5}$
(D)
$-\frac{5}{6}$
(E)
$-\frac{2}{3}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

4050개의 근을 모두 찾는 것은 불가능하므로 쫓는 대상을 바꾼다. 조화평균은 근 그 자체가 아니라 근들의 역수의 합에만 달려 있다. 그 합은 인수별로 쪼개지므로, 괴물 같은 다항식 대신 이차식 하나만 다루면 된다. 이차식 하나에서 두 근의 역수의 합은 -b/c와 같은데, 여기서는 그 값이 k를 완전히 지워 버린다. 그러면 2025개의 인수가 모두 같은 값을 내놓고, 짧은 곱셈과 나눗셈으로 마무리된다.

1STEP 1

조화평균을 다시 쓰기

역수 평균을 뒤집으면 조화평균은 n을 역수의 합으로 나눈 값. 여기서 n = 4050이니 필요한 건 1/근의 합뿐이다.

HM=1/1/nΣ_i=1ⁿ1/x_i=n/Σ_i=1ⁿ1/x_i, n=4050
2STEP 2

이차식 하나로 줄이기

곱은 인수들의 근을 모을 뿐이니, 역수의 합은 이차식 하나의 역수 합 2025개로 쪼개진다.

Σ_i=1⁴⁰⁵⁰1/x_i=Σ_k=1²⁰²⁵(1/r_k+1/s_k), r_k,s_k는 kx²-4x-3의 두 근
3STEP 3

이차식 하나의 역수의 합

비에트로 r + s = 4/k, rs = -3/k이므로 1/r + 1/s = (r+s)/(rs) = -4/3이고 k는 약분된다.

1/r+1/s=(r+s)/rs=(4/k)/(-3/k)=-4/3
4STEP 4

모든 k에서 같은 값

역수의 합은 -b/c인데 b = -4, c = -3이 모든 인수에서 같아 2025개 모두 -4/3, 총합은 -2700이다.

Σ_k=1²⁰²⁵(-4/3)=2025×(-4/3)=-2700
5STEP 5

나눠서 조화평균 구하기

1단계 공식에 넣으면 4050 나누기 -2700이고 1350으로 약분되어 조화평균은 -3/2, 즉 보기 (B)이다.

HM=4050/-2700=-4050/2700=-3/2
정답
-3/2
가장 작은 경우를 직접 확인해 본다. k = 1 인수는 x² - 4x - 3이고 두 근은 2 + sqrt(7)와 2 - sqrt(7)이다. 역수의 합은 (2+sqrt7 + 2-sqrt7)/((2)² - 7) = 4/-3 = -4/3이고, 이 둘의 조화평균은 2/-4/3 = -3/2이다. 모든 이차식이 동일하게 -4/3씩 보태므로 2025개를 모두 쌓아도 조화평균은 그대로 -3/2이다. 각 인수의 -3이 근의 곱을 음수로 만들어 값이 음수인 것도 자연스러우므로 보기 (B)로 신뢰할 만하다.
💡핵심 정리

평균이 근의 역수에만 관심을 둘 때는, 이차식 근의 역수의 합이 그냥 -b/c라는 사실을 써서 풀이를 건너뛸 수 있다.

  • 조화평균을 다시 쓰기
  • 이차식 하나로 줄이기
  • 이차식 하나의 역수의 합
  • 모든 k에서 같은 값
  • 나눠서 조화평균 구하기

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