AMC 10 · 2025 · #18

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

vieta-formulasquadratic-equationsfraction-arithmetic easier-related-problem ↑ 선수 지식: vieta-formulasquadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 수들의 모임의 조화평균은, 그 모임에 속한 수들의 역수의 산술평균의 역수이다. 예를 들어 $4,4,$ 와 $5$ 의 조화평균은

$\frac{1}{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})}=\frac{30}{7}.$

이다. 다음 $4050$ 차 다항식의 모든 실근의 조화평균은 얼마인가?

$\prod_{k=1}^{2025} (kx^2-4x-3)=(x^2-4x-3)(2x^2-4x-3)(3x^2-4x-3)...(2025x^2-4x-3)?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~-\frac{5}{3}$

(B)

$~-\frac{3}{2}$

(C)

$~-\frac{6}{5}$

(D)

$~-\frac{5}{6}$

(E)

$~-\frac{2}{3}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여러 수의 조화평균은 그 수들의 역수의 평균을 다시 역수로 취한 값이다. 차수가 4050인 커다란 다항식이 2025개의 이차식의 곱으로 주어지는데, k번째 인수는 k*x^2 - 4x - 3이고 k는 1부터 2025까지 움직인다. 이 다항식의 모든 실근의 조화평균을 구하여라.

주어진 것: 조화평균 = 1을 (그 수들의 역수의 평균)으로 나눈 값.; 다항식은 (1*x^2-4x-3)(2*x^2-4x-3)...(2025*x^2-4x-3)의 곱이다.; 각 인수는 이차식 k*x^2 - 4x - 3으로, 최고차항 계수 k만 바뀌고 -4와 -3은 고정되어 있다.; 이차식 인수가 2025개이므로 다항식의 차수는 4050이다.

구하는 것: 차수 4050 다항식의 모든 실근의 조화평균.

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #5 패턴 찾기

4050개의 근을 모두 찾는 것은 불가능하므로 쫓는 대상을 바꾼다. 조화평균은 근 그 자체가 아니라 근들의 역수의 합에만 달려 있다. 그 합은 인수별로 쪼개지므로, 괴물 같은 다항식 대신 이차식 하나만 다루면 된다. 이차식 하나에서 두 근의 역수의 합은 -b/c와 같은데, 여기서는 그 값이 k를 완전히 지워 버린다. 그러면 2025개의 인수가 모두 같은 값을 내놓고, 짧은 곱셈과 나눗셈으로 마무리된다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 6.NS.A.1 단계 1

조화평균을 다시 쓰기

n개 수의 조화평균은 1을 그 역수들의 평균으로 나눈 것이다.
역수들의 평균은 그 합을 n으로 나눈 값이고, 다시 역수를 취하면 그 분수가 뒤집힌다.
따라서 조화평균은 n을 모든 역수의 합으로 나눈 값과 같다.
여기서 n = 4050이므로, 정말로 필요한 양은 4050개 근 전체에 대한 1/근의 합 하나뿐이다.

$$HM=\dfrac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}},\qquad n=4050$$

💡 역수들의 평균을 다시 역수로 취하면 결국 개수를 그 합으로 나눈 값이므로, 근은 오직 이 합 하나를 통해서만 관여한다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.EE.A.1 단계 2

이차식 하나로 줄이기

이 다항식은 2025개의 서로 다른 이차식의 곱이고, 그 근은 각 이차식의 근들을 모두 모은 것일 뿐이다.
합은 인수별로 쪼개지므로, 모든 1/근의 합은 2025개의 이차식 각각에 대해 그 이차식의 두 근의 역수의 합을 더한 것과 같다.
즉 이차식 k*x^2 - 4x - 3 하나만 이해한 뒤 그것을 2025번 더하면 된다.

\sum_{i=1}^{4050}\frac{1}{x_i}=\sum_{k=1}^{2025}\left(\frac{1}{r_k}+\frac{1}{s_k}\right),\quad r_k,s_k\text{는 }kx^2-4x-3\text{의 두 근}

💡 이차식들의 곱은 모든 근을 한데 모을 뿐이므로, 근에 대한 합은 인수에 대한 합으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.1 단계 3

이차식 하나의 역수의 합

두 근이 r, s인 이차식 k*x^2 - 4x - 3에 대해 비에트 정리는 근의 합 r + s = 4/k, 근의 곱 r*s = -3/k를 준다.
두 역수를 공통분모로 더하면 1/r + 1/s = (s + r)를 (r*s)로 나눈 것이다.
대입하면 (4/k)를 (-3/k)로 나눈 값이고, 분자와 분모의 k가 약분되어 -4/3만 남는다.

$$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}=\frac{4/k}{-3/k}=-\frac{4}{3}$$

💡 두 역수를 더하면 (근의 합)을 (근의 곱)으로 나눈 값이 되고, 이 이차식들에서는 그 비가 고정되어 있다.

#5 패턴 찾기 7.NS.A.2 단계 4

모든 k에서 같은 값

결과 -4/3에는 k가 하나도 남지 않으므로, 2025개의 이차식 각각은 최고차항 계수와 상관없이 정확히 같은 값을 내놓는다.
이는 당연하다.
임의의 이차식 a*x^2 + b*x + c에서 두 근의 역수의 합은 -b/c인데, 여기서 b = -4, c = -3은 모든 인수에서 동일하기 때문이다.
-4/3을 2025번 더하면 역수의 총합은 -2700이 된다.

$$\sum_{k=1}^{2025}\left(-\frac{4}{3}\right)=2025\times\left(-\frac{4}{3}\right)=-2700$$

💡 이차식 근의 역수의 합은 b와 c만으로 정해지고 그것들은 변하지 않으므로, 모든 인수가 똑같이 -4/3씩 보탠다.

#4 변수 도입하기 6.NS.A.1 단계 5

나눠서 조화평균 구하기

1단계의 조화평균 공식에 역수의 총합을 다시 넣는다.
조화평균은 4050을 -2700으로 나눈 값이다.
두 수는 1350을 공약수로 가진다.
4050 = 3*1350, 2700 = 2*1350이므로 이 분수는 -3/2로 약분된다.
이는 보기 (B)와 일치한다.

$$HM=\frac{4050}{-2700}=-\frac{4050}{2700}=-\frac{3}{2}$$

💡 역수의 총합을 알고 나면 나눗셈 한 번으로 조화평균이 마무리된다.

[1] #16 6.NS.A.1 n개 수의 조화평균은 1을 그 역수들의 평균으로 나눈 것이다. 역수들의 평균은 그 합을 n으로 나눈 값이고, 다시 역수를 취하면 그 분수가 뒤집

[2] #9 7.EE.A.1 이 다항식은 2025개의 서로 다른 이차식의 곱이고, 그 근은 각 이차식의 근들을 모두 모은 것일 뿐이다. 합은 인수별로 쪼개지므로, 모든 1/

[3] #4 7.NS.A.1 두 근이 r, s인 이차식 k*x^2 - 4x - 3에 대해 비에트 정리는 근의 합 r + s = 4/k, 근의 곱 r*s = -3/k를 준다.

[4] #5 7.NS.A.2 결과 -4/3에는 k가 하나도 남지 않으므로, 2025개의 이차식 각각은 최고차항 계수와 상관없이 정확히 같은 값을 내놓는다. 이는 당연하다.

[5] #4 6.NS.A.1 1단계의 조화평균 공식에 역수의 총합을 다시 넣는다. 조화평균은 4050을 -2700으로 나눈 값이다. 두 수는 1350을 공약수로 가진다. 4

검토

합리성 확인: 가장 작은 경우를 직접 확인해 본다. k = 1 인수는 x^2 - 4x - 3이고 두 근은 2 + sqrt(7)와 2 - sqrt(7)이다. 역수의 합은 (2+sqrt7 + 2-sqrt7) / ((2)^2 - 7) = 4 / (-3) = -4/3이고, 이 둘의 조화평균은 2 / (-4/3) = -3/2이다. 모든 이차식이 동일하게 -4/3씩 보태므로 2025개를 모두 쌓아도 조화평균은 그대로 -3/2이다. 각 인수의 -3이 근의 곱을 음수로 만들어 값이 음수인 것도 자연스러우므로 보기 (B)로 신뢰할 만하다.

대안 접근: 비에트를 쓰지 않고 역수를 직접 대입할 수도 있다. y = 1/x로 두면 x = 1/y이고, 이를 k*x^2 - 4x - 3 = 0에 넣고 y^2을 곱하면 -3y^2 - 4y + k = 0, 즉 3y^2 + 4y - k = 0이 된다. 역수의 합은 이 y-근들의 합이고, 비에트에 의해 모든 k에서 -4/3이다. r + s와 r*s를 따로 구하지 않고도 인수별 기여가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.NS.A.1 분수 나눗셈의 몫을 해석하고 계산하기 (역수들의 평균을 다시 역수로 취한 것을 n을 역수의 합으로 나눈 값으로 바꾸고, 4050을 -2700으로 나눠 조화평균을 얻는 데 사용.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 적용해 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 (역수의 합을 2025개의 이차식 인수별로 쪼개 전체 다항식을 이차식 하나로 줄이는 데 사용.)
7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수까지 확장하여 적용하기 (두 역수 1/r + 1/s를 공통분모로 더해 (r+s)/(rs)를 얻고 -4/3으로 정리하는 데 사용.)
7.NS.A.2 곱셈과 나눗셈의 이해를 유리수까지 확장하여 적용하기 (고정된 기여값 -4/3에 인수 개수 2025를 곱해 역수의 총합 -2700을 구하는 데 사용.)

⭐ 평균이 근의 역수에만 관심을 둘 때는, 이차식 근의 역수의 합이 그냥 -b/c라는 사실을 써서 풀이를 건너뛸 수 있다.