AMC 10 · 2025 · #23
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제는 정성껏 그린 그림 하나로 풀리므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심축이다: 수선 CD와 이등분선을 그리면 P가 CD 위에 있다는 것, 그리고 작은 직각삼각형 BDP(D에서 직각)의 빗변이 바로 BP라는 것이 보인다. 이렇게 다시 보면 더 이상 전체 삼각형과 씨름할 필요가 없다; 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 깔끔한 세 조각으로 나눈다: 발까지의 거리 BD 구하기, 수선 CD 구하기, 그다음 DP 구하기. 도구 #4(변수 도입하기)는 BD=x라 이름 붙여, 피타고라스 정리로 두 번 표현한 공통 수선이 하나의 일차방정식으로 무너지게 한다. 두 다리 BD와 DP를 손에 넣으면 마지막 피타고라스 한 걸음이 BP를 준다.
작은 직각삼각형으로 틀 잡기
C에서 내린 수선의 발을 D라 하면 P는 CD 위에 있으므로, BP는 직각삼각형 BDP의 빗변이다.
수선을 그리면 복잡한 전체 삼각형이, 빗변이 바로 우리가 원하는 길이인 작은 직각삼각형 하나로 바뀐다.
8.G.A.5Draw A Diagram공통 수선으로 BD 구하기
BD=x, AD=80-x로 두면 45²-x²=75²-(80-x)²이고, x²이 상쇄되어 160x=2800, BD=이다.
하나뿐인 공통 수선을 자기 자신과 같다고 놓으면 제곱된 미지수가 상쇄되어 쉬운 일차방정식 하나만 남는다.
8.EE.C.7Introduce A Variable수선 CD 구하기
빗변이 BC=45인 직각삼각형 CDB에서 CD²=2025-=이므로 CD=이다.
한 다리 BD를 알고 나면, 피타고라스 정리가 바로 그 직각삼각형의 나머지 다리를 건네준다.
8.G.B.7Identify Subproblems각의 이등분선 정리로 P 위치 잡기
직각삼각형 BDC 안에서 이등분선이 DC를 DP:PC=BD:BC=7:18로 나누므로, DP는 CD의 인 이다.
마주 보는 변을 자르는 이등분선은 언제나 그 꼭짓점에서 만나는 두 변의 비와 똑같은 비로 그 변을 나눈다.
마주보는 변을 자르는 이등분선은 그 모서리에서 만나는 두 변과 같은 비로 그 변을 나눈다.
▸ 왜?
두 조각은 모양이 같은 삼각형에 놓이므로, 변이 하나의 일정한 비를 지킨다.
▸ 왜?
비는 서로의 크기만 정하므로, 하나의 공통 인수가 두 조각을 한꺼번에 키운다.
피타고라스 정리로 마무리
BDP는 D에서 직각이므로 BP²=+=441, 따라서 BP=21이고 답은 (D)이다.
두 다리를 모두 알면, 마지막 피타고라스 한 걸음이 빗변 BP를 곧바로 준다.
8.G.B.7Identify Subproblems수선을 내려 작은 직각삼각형 BDP를 찾아라; 두 다리 BD와 DP를 구한 뒤 피타고라스 정리로 BP=21을 얻으면 된다.
- 작은 직각삼각형으로 틀 잡기
- 공통 수선으로 BD 구하기
- 수선 CD 구하기
- 각의 이등분선 정리로 P 위치 잡기
- 피타고라스 정리로 마무리
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