AMC 10 · 2025 · #23

학년 8 geometry-2d

angle-bisector-theorempythagorean-theoremarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremangle-bisector-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 $\triangle ABC$ 의 세 변의 길이는 $AB = 80$ , $BC = 45$ , $AC = 75$ 이다. $\angle B$ 의 이등분선과 변 $\overline{AB}$ 에 내린 수선이 점 $P$ 에서 만난다. $BP$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~18

(B)

~19

(C)

~20

(D)

~21

(E)

~22

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$의 변의 길이는 $AB=80$, $BC=45$, $AC=75$이다. $C$에서 변 $AB$로 수선을 내리고, 또한 $\angle B$의 이등분선을 그린다. 이 두 직선은 점 $P$에서 만난다. 길이 $BP$를 구하라.

주어진 것: 변의 길이는 $AB=80$, $BC=45$, $AC=75$이다; 한 직선은 $C$에서 변 $AB$로 내린 수선이다; 그 발을 $D$라 하면 $CD\perp AB$이고 $D$는 선분 $AB$ 위에 있다; 다른 직선은 $\angle B$의 이등분선으로, $\angle ABC$를 똑같은 두 각으로 나눈다; $P$는 수선과 이등분선이 만나는 점이다; 선택지: (A) $18$, (B) $19$, (C) $20$, (D) $21$, (E) $22$

구하는 것: 길이 $BP$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

이 문제는 정성껏 그린 그림 하나로 풀리므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심축이다: 수선 $CD$와 이등분선을 그리면 $P$가 $CD$ 위에 있다는 것, 그리고 작은 직각삼각형 $BDP$($D$에서 직각)의 빗변이 바로 $BP$라는 것이 보인다. 이렇게 다시 보면 더 이상 전체 삼각형과 씨름할 필요가 없다; 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 깔끔한 세 조각으로 나눈다: 발까지의 거리 $BD$ 구하기, 수선 $CD$ 구하기, 그다음 $DP$ 구하기. 도구 #4(변수 도입하기)는 $BD=x$라 이름 붙여, 피타고라스 정리로 두 번 표현한 공통 수선이 하나의 일차방정식으로 무너지게 한다. 두 다리 $BD$와 $DP$를 손에 넣으면 마지막 피타고라스 한 걸음이 $BP$를 준다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

작은 직각삼각형으로 틀 잡기

$C$에서 $AB$로 수선을 내리고 그 발을 $D$라 하면 $CD\perp AB$이고 $D$는 $AB$ 위에 있다.
$\angle B$의 이등분선이 이 수선과 $P$에서 만나므로 $P$는 선분 $CD$ 위에 있다.
$D$가 반직선 $BA$ 위에 있으므로 $\angle ABC$의 이등분선은 정확히 직각삼각형 $BDC$ 안에서 $\angle DBC$의 이등분선이다.
삼각형 $BDP$를 보라: $D$에서 직각이므로 $BP$가 빗변이고 $BP=\sqrt{BD^2+DP^2}$이다.
이제 계획은 두 다리 $BD$와 $DP$를 구하는 것뿐이다.

$$BP=\sqrt{BD^2+DP^2}$$

💡 수선을 그리면 복잡한 전체 삼각형이, 빗변이 바로 우리가 원하는 길이인 작은 직각삼각형 하나로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 2

공통 수선으로 BD 구하기

수선 $CD$는 두 직각삼각형 $CDB$와 $CDA$의 공통 다리이다.
$BD=x$라 하면 $AD=80-x$이다.
각 삼각형에서 피타고라스 정리로 $CD^2$을 쓰면 $45^2-x^2=75^2-(80-x)^2$이 된다.
$x^2$ 항이 상쇄되어 일차방정식이 남는다: 오른쪽을 전개하면 $2025=-775+160x$이므로 $160x=2800$, $x=\tfrac{35}{2}$이다.
따라서 $BD=\tfrac{35}{2}$이다.

$$45^2-x^2=75^2-(80-x)^2\;\Rightarrow\;160x=2800\;\Rightarrow\;BD=\tfrac{35}{2}$$

💡 하나뿐인 공통 수선을 자기 자신과 같다고 놓으면 제곱된 미지수가 상쇄되어 쉬운 일차방정식 하나만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

수선 CD 구하기

이제 직각삼각형 $CDB$에서 피타고라스 정리를 쓴다.
여기서 $BC=45$가 빗변이고 $BD=\tfrac{35}{2}$가 다리이다: $CD^2=45^2-\left(\tfrac{35}{2}\right)^2=2025-\tfrac{1225}{4}=\tfrac{6875}{4}$.
제곱근을 취하면 $CD=\tfrac{25\sqrt{11}}{2}$이다.

$$CD^2=45^2-\left(\tfrac{35}{2}\right)^2=\tfrac{6875}{4},\quad CD=\tfrac{25\sqrt{11}}{2}$$

💡 한 다리 $BD$를 알고 나면, 피타고라스 정리가 바로 그 직각삼각형의 나머지 다리를 건네준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.4 단계 4

각의 이등분선 정리로 P 위치 잡기

직각삼각형 $BDC$ 안에서 작업한다.
$B$에서 나온 이등분선이 마주 보는 변 $DC$와 $P$에서 만나므로, 각의 이등분선 정리에 의해 $DC$가 이웃한 두 변의 비로 나뉜다: $\dfrac{DP}{PC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{35/2}{45}=\dfrac{7}{18}$.
$DP+PC=DC$이므로 조각 $DP$는 $DC$의 $\dfrac{7}{7+18}=\dfrac{7}{25}$이고, 따라서 $DP=\dfrac{7}{25}\cdot\dfrac{25\sqrt{11}}{2}=\dfrac{7\sqrt{11}}{2}$이다.

$$\dfrac{DP}{PC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{7}{18},\quad DP=\dfrac{7}{25}\cdot\dfrac{25\sqrt{11}}{2}=\dfrac{7\sqrt{11}}{2}$$

💡 마주 보는 변을 자르는 이등분선은 언제나 그 꼭짓점에서 만나는 두 변의 비와 똑같은 비로 그 변을 나눈다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 5

피타고라스 정리로 마무리

삼각형 $BDP$는 $D$에서 직각이므로 $BP^2=BD^2+DP^2=\left(\tfrac{35}{2}\right)^2+\left(\tfrac{7\sqrt{11}}{2}\right)^2=\tfrac{1225}{4}+\tfrac{539}{4}=\tfrac{1764}{4}=441$이다.
따라서 $BP=\sqrt{441}=21$이고, 답은 (D)이다.

$$BP^2=\left(\tfrac{35}{2}\right)^2+\left(\tfrac{7\sqrt{11}}{2}\right)^2=\tfrac{1764}{4}=441,\quad BP=21\ \textbf{(D)}$$

💡 두 다리를 모두 알면, 마지막 피타고라스 한 걸음이 빗변 $BP$를 곧바로 준다.

[1] #1 8.G.A.5 $C$에서 $AB$로 수선을 내리고 그 발을 $D$라 하면 $CD\perp AB$이고 $D$는 $AB$ 위에 있다. $\angle B$의 이등분

[2] #4 8.EE.C.7 수선 $CD$는 두 직각삼각형 $CDB$와 $CDA$의 공통 다리이다. $BD=x$라 하면 $AD=80-x$이다. 각 삼각형에서 피타고라스 정리

[3] #7 8.G.B.7 이제 직각삼각형 $CDB$에서 피타고라스 정리를 쓴다. 여기서 $BC=45$가 빗변이고 $BD=\tfrac{35}{2}$가 다리이다: $CD^2

[4] #7 8.G.A.4 직각삼각형 $BDC$ 안에서 작업한다. $B$에서 나온 이등분선이 마주 보는 변 $DC$와 $P$에서 만나므로, 각의 이등분선 정리에 의해 $D

[5] #7 8.G.B.7 삼각형 $BDP$는 $D$에서 직각이므로 $BP^2=BD^2+DP^2=\left(\tfrac{35}{2}\right)^2+\left(\tfrac

검토

합리성 확인: 마지막 $BP^2=441=21^2$은 깔끔한 완전제곱수로, 대회에서 안심할 만한 신호이다. 또한 $BP$는 직각삼각형 $BDP$의 빗변이므로 다리 $BD=17.5$보다 커야 하는데, 실제로 $21>17.5$이다. 수치로는 $DP=\tfrac{7\sqrt{11}}{2}\approx11.6$이므로 $BP\approx\sqrt{306.25+134.75}=\sqrt{441}=21$이고, 이는 선택지 $18$부터 $22$ 중 정확히 (D)에 놓인다.

대안 접근: 좌표를 쓴다. $B=(0,0)$, $A=(80,0)$을 $x$축 위에 두면 발은 $D=(\tfrac{35}{2},0)$, $C=(\tfrac{35}{2},\tfrac{25\sqrt{11}}{2})$이다. $BA$ 방향은 $(1,0)$이고 $BC$ 방향의 단위벡터는 $\left(\tfrac{7}{18},\tfrac{5\sqrt{11}}{18}\right)$이다; 두 벡터를 더하면 이등분선 방향이 $(5,\sqrt{11})$에 비례한다. 이등분선 $t(5,\sqrt{11})$은 수선 직선 $x=\tfrac{35}{2}$과 $5t=\tfrac{35}{2}$, 즉 $t=\tfrac{7}{2}$일 때 만나므로 $P=\left(\tfrac{35}{2},\tfrac{7\sqrt{11}}{2}\right)$이고 $BP=\sqrt{\left(\tfrac{35}{2}\right)^2+\left(\tfrac{7\sqrt{11}}{2}\right)^2}=\sqrt{441}=21$로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (수선이 $D$에서 직각을 만든다는 것과 $\angle ABC$의 이등분선이 직각삼각형 $BDC$ 안에서 $\angle DBC$의 이등분선이라는 것을 알아채, $BP$가 직각삼각형 $BDP$의 빗변임을 파악하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (공통 수선을 두 가지로 쓰고 $x^2$ 항이 상쇄된 뒤 남는 일차방정식 $160x=2800$을 풀어 $BD=\tfrac{35}{2}$를 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각삼각형 $CDB$에서 수선 $CD=\tfrac{25\sqrt{11}}{2}$를 구하고, 직각삼각형 $BDP$에서 $BP=\sqrt{BD^2+DP^2}=21$을 계산하는 데 사용.)
8.G.A.4 Understand that a two-dimensional figure is similar to another using transformations (각의 이등분선 정리(닮은 삼각형에서 따라 나옴)를 적용해 $DC$를 $\tfrac{DP}{PC}=\tfrac{BD}{BC}=\tfrac{7}{18}$의 비로 나누어 $DP=\tfrac{7\sqrt{11}}{2}$를 구하는 데 사용.)

⭐ 수선을 내려 작은 직각삼각형 $BDP$를 찾아라; 두 다리 $BD$와 $DP$를 구한 뒤 피타고라스 정리로 $BP=21$을 얻으면 된다.