AMC 10 · 2025 · #25
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
P가 정사각형 안에서 균등하므로 여기서 모든 확률은 곧 좋은 점들이 이루는 영역의 넓이입니다. 그래서 문제 전체가 영역의 기하 문제로 바뀝니다. 핵심 도구는 #7 (작은 문제로 쪼개기)입니다. "AP가 중간 변"이라는 조건은 하나가 아니라 서로 겹치지 않는 두 조건 BP ＜ AP ＜ AB와 AB ＜ AP ＜ BP이고, 각각이 자기 영역을 만듭니다. #4 (변수 도입하기)로 정사각형에 좌표를 놓으면 길이 비교가 P=(x,y)에 대한 깔끔한 조건이 됩니다. AP와 BP의 비교는 세로 직선이 되고, AP와 AB=1의 비교는 원이 됩니다. #1 (그림 그리기)은 이 조건들을 넓이를 바로 읽을 수 있는 부채꼴, 직사각형, 직각삼각형으로 바꿉니다. #16 (관점 바꾸기)은 두 번째 경우를 다룹니다. 여기서 좋은 영역은 직사각형에서 원의 바깥 부분이라, 원 안쪽 부분을 빼는 편이 가장 쉽습니다. 두 경우의 넓이를 더하면 확률이 나옵니다.
확률을 넓이로 바꾸기
P가 균등하므로 확률은 곧 넓이. 한 변을 1로 잡고 A=(0,1), B=(1,1)을 위쪽 변에 둡니다.
균등하게 뽑은 점에서 확률은 그 조건이 차지하는 넓이의 비율일 뿐이다.
고르게 고른 점에 대해, 확률은 통하는 넓이의 몫일 뿐이다.
▸ 왜?
어느 점도 다른 점보다 유리하지 않으므로, 확률은 얼마만큼의 넓이가 통하는지로 재어진다.
▸ 왜?
좋은 넓이가 클수록 확률도 그만큼 커지므로, 그 비가 전부다.
"중간 변"은 두 경우로 갈린다
AP가 중간 길이라는 것은 서로 겹치지 않는 두 경우입니다: BP ＜ AP ＜ 1, 또는 1 ＜ AP ＜ BP.
세 수 중 중간이라는 것은 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있다는 뜻이다.
6.NS.C.7Identify Subproblems각 비교를 영역으로 옮기기
AP ＜ BP는 왼쪽 절반 x ＜ 1/2, AP ＜ 1은 A 중심 반지름 1인 사분원 안쪽입니다.
A에 더 가까움은 직선의 한쪽, 한 변보다 짧음은 원의 안쪽이다.
8.G.B.8Draw A Diagram경우 1 넓이: 부채꼴에서 직각삼각형 빼기
경우 1은 60° 부채꼴 ABN(π/6)에서 직각삼각형 AMN(√3/8)을 뺀 π/6-√3/8입니다.
경계선까지의 부채꼴을 잡고, 밖으로 삐져나온 삼각형만 잘라낸다.
7.G.B.4Identify Subproblems경우 2 넓이: 직사각형에서 원의 부분 빼기
왼쪽 직사각형 넓이 1/2에서 원의 왼쪽 부분 π/12+√3/8을 빼면 1/2-π/12-√3/8입니다.
좋은 부분은 직사각형에서 원 조각을 파낸 것이므로 그 조각을 빼면 된다.
7.G.B.4Change Focus Count The Complement두 경우를 더하고 정수 읽어내기
두 넓이를 더하면 (6+π-3√3)/12이므로 6+1+3+3+12=25, 답은 (A)입니다.
겹치지 않는 두 영역은 그냥 더하면 되고, 답의 꼴이 어떤 정수를 읽어야 할지 알려준다.
7.NS.A.3Introduce A Variable"중간 변"은 나머지 두 변 사이라는 뜻이라 사실 두 가지 영역 경우이다. 그것을 부채꼴 하나와 파낸 직사각형 하나로 그린 뒤 넓이를 더하면 된다.
- 확률을 넓이로 바꾸기
- "중간 변"은 두 경우로 갈린다
- 각 비교를 영역으로 옮기기
- 경우 1 넓이: 부채꼴에서 직각삼각형 빼기
- 경우 2 넓이: 직사각형에서 원의 부분 빼기
- 두 경우를 더하고 정수 읽어내기
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