AMC 10 · 2025 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Area-Proportional Region Probability

geometric-probabilityperpendicular-bisectorcircular-sectorarea-difference casework ↑ 선수 지식: geometric-probabilitycircular-sector

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정사각형 $ABCD$ 의 내부에서 점 $P$ 를 무작위로 고른다. $\overline{AP}$ 가 $\triangle APB$ 에서 가장 짧은 변도 가장 긴 변도 아닐 확률은 $\frac{a + b \pi - c \sqrt{d}}{e}$ 로 나타낼 수 있고, 여기서 $a, b, c, d,$ $e$ 는 양의 정수이고 $\text{gcd}(a, b, c, e) = 1$ 이며 $d$ 는 어떤 소수의 제곱으로도 나누어떨어지지 않는다. $a+b+c+d+e$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 $ABCD$의 내부에서 점 $P$를 균등하게 무작위로 하나 뽑습니다. 삼각형 $\triangle APB$의 세 변은 $AP$, $BP$, 그리고 고정된 변 $AB$입니다. 이 세 변 중에서 $AP$가 가장 짧지도 가장 길지도 않을 확률을 구합니다. 그 확률은 $\dfrac{a+b\pi-c\sqrt{d}}{e}$ 꼴로, $\gcd(a,b,c,e)=1$이고 $d$는 제곱인수가 없는 수이며, $a+b+c+d+e$를 답합니다.

주어진 것: $P$는 정사각형 $ABCD$의 내부에서 균등하게 무작위로 뽑힌다; $\triangle APB$의 세 변은 $AP$, $BP$, $AB$이고, $AB$는 정사각형의 한 변 전체이다; 구하는 확률은 $\dfrac{a+b\pi-c\sqrt{d}}{e}$ 꼴이며, $a,b,c,d,e$는 양의 정수, $\gcd(a,b,c,e)=1$, $d$는 어떤 소수의 제곱으로도 나누어지지 않는다; 선택지: (A) 25, (B) 26, (C) 27, (D) 28, (E) 29

구하는 것: $a+b+c+d+e$의 값. 이를 위해 먼저 확률을 $\dfrac{a+b\pi-c\sqrt{d}}{e}$ 꼴로 구해야 한다

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #16 관점 바꾸기

$P$가 정사각형 안에서 균등하므로 여기서 모든 확률은 곧 좋은 점들이 이루는 영역의 넓이입니다. 그래서 문제 전체가 영역의 기하 문제로 바뀝니다. 핵심 도구는 #7 (작은 문제로 쪼개기)입니다. "$AP$가 중간 변"이라는 조건은 하나가 아니라 서로 겹치지 않는 두 조건 $BP<AP<AB$와 $AB<AP<BP$이고, 각각이 자기 영역을 만듭니다. #4 (변수 도입하기)로 정사각형에 좌표를 놓으면 길이 비교가 $P=(x,y)$에 대한 깔끔한 조건이 됩니다. $AP$와 $BP$의 비교는 세로 직선이 되고, $AP$와 $AB=1$의 비교는 원이 됩니다. #1 (그림 그리기)은 이 조건들을 넓이를 바로 읽을 수 있는 부채꼴, 직사각형, 직각삼각형으로 바꿉니다. #16 (관점 바꾸기)은 두 번째 경우를 다룹니다. 여기서 좋은 영역은 직사각형에서 원의 바깥 부분이라, 원 안쪽 부분을 빼는 편이 가장 쉽습니다. 두 경우의 넓이를 더하면 확률이 나옵니다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 7.SP.C.7 단계 1

확률을 넓이로 바꾸기

$P$가 정사각형 안에서 균등하므로, 어떤 사건의 확률은 그 사건이 성립하는 넓이가 정사각형 전체 넓이에서 차지하는 비율입니다.
정사각형의 한 변을 1로 잡으면 넓이가 1이 되어 "확률"이 곧 "좋은 영역의 넓이"가 됩니다.
좌표를 $A=(0,1)$, $B=(1,1)$을 위쪽 변에, $C=(1,0)$, $D=(0,0)$으로 놓으면 $AB=1$이 고정되고 $P=(x,y)$는 단위 정사각형 위를 움직입니다.

$$A=(0,1),\; B=(1,1),\; AB=1,\qquad \Pr(\text{사건})=[\text{좋은 영역}]$$

💡 균등하게 뽑은 점에서 확률은 그 조건이 차지하는 넓이의 비율일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 2

"중간 변"은 두 경우로 갈린다

세 길이 $AP$, $BP$, $AB=1$ 중에서 $AP$가 가장 짧지도 가장 길지도 않다는 것은 $AP$가 중간 값, 즉 나머지 두 값 사이에 있다는 뜻입니다.
어떤 수가 중간에 놓이는 방식은 $BP$와 $AB$ 중 어느 쪽이 더 큰지에 따라 정확히 두 가지입니다.
이렇게 서로 겹치지 않는 두 경우가 나오고, 그 넓이를 더하면 됩니다.

$$\textbf{경우 1: } BP<AP<1 \qquad\textbf{경우 2: } 1<AP<BP$$

💡 세 수 중 중간이라는 것은 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있다는 뜻이다.

#1 그림 그리기 8.G.B.8 단계 3

각 비교를 영역으로 옮기기

$AP^2=x^2+(y-1)^2$, $BP^2=(x-1)^2+(y-1)^2$을 쓰면 비교 $AP<BP$가 간단해집니다.
$x^2<(x-1)^2$에서 $x<\tfrac12$이 나옵니다.
즉 $AP<BP$($A$에 더 가까움)는 왼쪽 절반 $x<\tfrac12$이고, $AP>BP$는 오른쪽 절반 $x>\tfrac12$입니다.
이는 $AB$의 수직이등분선으로 나뉜 것입니다.
다음으로 $AP<1$은 $x^2+(y-1)^2<1$, 곧 $P$가 $A$를 중심으로 반지름 1인 사분원 안($B$에서 $D$까지 지나감)에 있다는 뜻입니다.
그러므로 경우 1은 경계선 오른쪽이면서 원 안, 경우 2는 경계선 왼쪽이면서 원 바깥입니다.

$$AP<BP\iff x<\tfrac12,\qquad AP<1\iff x^2+(y-1)^2<1$$

💡 $A$에 더 가까움은 직선의 한쪽, 한 변보다 짧음은 원의 안쪽이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

경우 1 넓이: 부채꼴에서 직각삼각형 빼기

$M=(\tfrac12,1)$을 경계선의 위쪽 끝, $N=(\tfrac12,1-\tfrac{\sqrt3}{2})$을 경계선 $x=\tfrac12$이 원과 만나는 점이라 하면 $AN=1$입니다.
직각삼각형 $AMN$에서 한 변 $AM=\tfrac12$이 빗변 $AN=1$의 정확히 절반이므로 이는 30-60-90 삼각형의 특징이고, 따라서 $\angle BAN=60^\circ$입니다.
또 피타고라스 정리로 $MN=\sqrt{1-\tfrac14}=\tfrac{\sqrt3}{2}$입니다.
경우 1의 영역(경계선 오른쪽, 원 안)은 정확히 $60^\circ$ 부채꼴 $ABN$에서 왼쪽 조각 $\triangle AMN$을 뺀 것입니다.
부채꼴 $ABN=\tfrac{60}{360}\pi(1)^2=\tfrac{\pi}{6}$이고 $[\triangle AMN]=\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\sqrt3}{8}$입니다.

$$[\text{경우 1}]=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}$$

💡 경계선까지의 부채꼴을 잡고, 밖으로 삐져나온 삼각형만 잘라낸다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.4 단계 5

경우 2 넓이: 직사각형에서 원의 부분 빼기

경우 2는 왼쪽 직사각형 $x\in[0,\tfrac12],\,y\in[0,1]$(넓이 $\tfrac12$) 안에 있으면서 원 바깥에 있어야 하므로, 안쪽 부분을 빼는 편이 쉽습니다.
사분원 전체 넓이는 $\tfrac{\pi}{4}$입니다.
그 오른쪽 부분(원 안, $x>\tfrac12$)은 바로 경우 1의 영역 $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}$이므로, 왼쪽 부분은 $\tfrac{\pi}{4}-\left(\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}\right)=\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{\sqrt3}{8}$입니다.
직사각형에서 이것을 빼면 좋은 영역이 됩니다.

$$[\text{경우 2}]=\frac12-\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}\right)=\frac12-\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}$$

💡 좋은 부분은 직사각형에서 원 조각을 파낸 것이므로 그 조각을 빼면 된다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.3 단계 6

두 경우를 더하고 정수 읽어내기

겹치지 않는 두 넓이를 더합니다.
$\sqrt3$ 항이 합쳐져 $-\tfrac{\sqrt3}{8}-\tfrac{\sqrt3}{8}=-\tfrac{\sqrt3}{4}$이 되고, $\pi$ 항은 $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\pi}{12}=\tfrac{\pi}{12}$이 됩니다.
그러므로 확률은 $\tfrac12+\tfrac{\pi}{12}-\tfrac{\sqrt3}{4}=\tfrac{6+\pi-3\sqrt3}{12}$입니다.
$\tfrac{a+b\pi-c\sqrt d}{e}$와 맞추면 $a=6,\,b=1,\,c=3,\,d=3,\,e=12$이고($\gcd(6,1,3,12)=1$이고 $3$은 제곱인수가 없음), $a+b+c+d+e=6+1+3+3+12=25$입니다.
답은 (A)입니다.

$$P=\frac{6+\pi-3\sqrt3}{12}\;\Rightarrow\; a+b+c+d+e=25\;\textbf{(A)}$$

💡 겹치지 않는 두 영역은 그냥 더하면 되고, 답의 꼴이 어떤 정수를 읽어야 할지 알려준다.

[1] #4 7.SP.C.7 $P$가 정사각형 안에서 균등하므로, 어떤 사건의 확률은 그 사건이 성립하는 넓이가 정사각형 전체 넓이에서 차지하는 비율입니다. 정사각형의 한

[2] #7 6.NS.C.7 세 길이 $AP$, $BP$, $AB=1$ 중에서 $AP$가 가장 짧지도 가장 길지도 않다는 것은 $AP$가 중간 값, 즉 나머지 두 값 사이에

[3] #1 8.G.B.8 $AP^2=x^2+(y-1)^2$, $BP^2=(x-1)^2+(y-1)^2$을 쓰면 비교 $AP<BP$가 간단해집니다. $x^2<(x-1)^2$

[4] #7 7.G.B.4 $M=(\tfrac12,1)$을 경계선의 위쪽 끝, $N=(\tfrac12,1-\tfrac{\sqrt3}{2})$을 경계선 $x=\tfrac12

[5] #16 7.G.B.4 경우 2는 왼쪽 직사각형 $x\in[0,\tfrac12],\,y\in[0,1]$(넓이 $\tfrac12$) 안에 있으면서 원 바깥에 있어야 하므

[6] #4 7.NS.A.3 겹치지 않는 두 넓이를 더합니다. $\sqrt3$ 항이 합쳐져 $-\tfrac{\sqrt3}{8}-\tfrac{\sqrt3}{8}=-\tfrac

검토

합리성 확인: 수치로 $P=\tfrac{6+3.1416-5.196}{12}\approx\tfrac{3.946}{12}\approx0.329$로, 0과 1 사이의 타당한 확률입니다. 두 조각도 각각 양수이고 그럴듯합니다. 경우 1 $=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}\approx0.31$, 경우 2 $=\tfrac12-\tfrac{\pi}{12}-\tfrac{\sqrt3}{8}\approx0.02$로, $A$ 근처의 원 안쪽 영역이 대부분을 차지하고 원 바깥의 얇은 띠는 조금만 기여합니다. 구조적으로도 확인됩니다. 경우 1에서는 고정된 변 $AB$가 가장 길고, 경우 2에서는 가장 짧으므로 두 경우 모두 $AP$가 정말로 중간에 놓입니다. 끝으로 $\gcd(6,1,3,12)=1$이고 $3$은 제곱인수가 없어 요구된 꼴이 만족되며, $a+b+c+d+e=25$가 정해져 (A)와 일치합니다.

대안 접근: 영역 기하 대신 직접 적분할 수도 있습니다. $u=1-y$로 두면 경우 1은 $\int_{1/2}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}$, 경우 2는 $\tfrac12-\int_{0}^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx=\tfrac12-\tfrac{\pi}{12}-\tfrac{\sqrt3}{8}$이 되어 부채꼴/직사각형 계산과 일치하고, 합은 $\tfrac{6+\pi-3\sqrt3}{12}$입니다. 흔한 함정은 경우 1만 계산하고(삼각형이 $A$ 근처에만 있다고 착각) 경우 2를 잊는 것입니다. 경우 2는 $AP$가 중간이지만 $AB$보다 긴 경우로, 이를 빠뜨리면 확률을 너무 작게 잘못 구하게 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.SP.C.7 확률 모형을 세우고 이를 이용해 사건의 확률을 구하기 (균등하게 뽑은 무작위 점을 넓이 모형으로 바꿔, 확률이 단위 정사각형에서 좋은 영역의 넓이와 같게 만드는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해하기 ("가장 짧지도 가장 길지도 않다"를 "$AP$가 세 길이 중 중간"으로 읽고, 순서에 따른 두 경우 $BP<AP<1$과 $1<AP<BP$로 나누는 데 사용.)
8.G.B.8 좌표평면에서 두 점 사이의 거리를 피타고라스 정리로 구하기 ($AP^2=x^2+(y-1)^2$, $BP^2=(x-1)^2+(y-1)^2$을 써서 $AP<BP$를 $x<\tfrac12$로, $AP<1$을 사분원 $x^2+(y-1)^2<1$로 바꾸는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제에 활용하기 ($60^\circ$ 부채꼴 넓이 $\tfrac{\pi}{6}$, 사분원 넓이 $\tfrac{\pi}{4}$, 원 영역의 좌우 분할을 계산하는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변의 길이 구하기 ($MN=\sqrt{1-\tfrac14}=\tfrac{\sqrt3}{2}$을 구하고, $60^\circ$ 중심각을 확정하는 30-60-90 삼각형 $AMN$을 알아보는 데 사용.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산이 필요한 문제 해결하기 (두 경우의 넓이를 더하고 $\pi$와 $\sqrt3$ 항을 정리해 $a,b,c,d,e$를 읽어내 $a+b+c+d+e=25$를 얻는 데 사용.)

⭐ "중간 변"은 나머지 두 변 사이라는 뜻이라 사실 두 가지 영역 경우이다. 그것을 부채꼴 하나와 파낸 직사각형 하나로 그린 뒤 넓이를 더하면 된다.