AMC 10 · 2025 · #4
학년 8 algebra학생 팀이 상식 퀴즈 대회에서 교사 팀과 겨루려고 한다. 학생과 교사를 합한 인원은 모두 15명이다. 학생 중 한 명의 사촌인 애쉬가 대회에 참가하고 싶어 한다. 애쉬가 학생 팀에 들어가면 그 팀의 평균 나이가 12에서 14로 오르고, 교사 팀에 들어가면 그 팀의 평균 나이가 55에서 52로 내려간다. 애쉬는 몇 살인가?
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 학생 팀과 교사 팀을 합치면 $15$ 명입니다. 애쉬(Ash)라는 사람이 학생 팀에 들어가면 그 팀의 평균 나이가 $12$ 에서 $14$ 로 오르고, 대신 교사 팀에 들어가면 평균 나이가 $55$ 에서 $52$ 로 내려갑니다. 애쉬의 나이를 구하세요.
주어진 것: 두 팀을 합치면 모두 $15$ 명이며, 학생과 교사로 나뉩니다.; 학생들의 평균 나이는 $12$ 이고, 애쉬가 합류하면 $14$ 가 됩니다.; 교사들의 평균 나이는 $55$ 이고, 애쉬가 합류하면 $52$ 가 됩니다.; 선택지: (A) $28$, (B) $29$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $33$
구하는 것: 애쉬의 나이.; 학생 수와 교사 수 (풀이 도중 필요함).
이해
문제 재정리: 학생 팀과 교사 팀을 합치면 $15$ 명입니다. 애쉬(Ash)라는 사람이 학생 팀에 들어가면 그 팀의 평균 나이가 $12$ 에서 $14$ 로 오르고, 대신 교사 팀에 들어가면 평균 나이가 $55$ 에서 $52$ 로 내려갑니다. 애쉬의 나이를 구하세요.
주어진 것: 두 팀을 합치면 모두 $15$ 명이며, 학생과 교사로 나뉩니다.; 학생들의 평균 나이는 $12$ 이고, 애쉬가 합류하면 $14$ 가 됩니다.; 교사들의 평균 나이는 $55$ 이고, 애쉬가 합류하면 $52$ 가 됩니다.; 선택지: (A) $28$, (B) $29$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $33$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
단서들이 평균에 관한 말로 되어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 미지수 — 팀 인원 $S$, $T$ 와 애쉬의 나이 $A$ — 에 이름을 붙여 각 문장을 방정식으로 바꿉니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 각 '새 평균' 조건을, 합 $=$ 평균 $\times$ 인원 수 를 이용해 일차방정식으로 바꿉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 학생 쪽과 교사 쪽을 각각 방정식이 나올 때까지 따로 다루게 하고, 그 뒤 두 방정식과 총합을 함께 풀게 합니다.
실행 — 정답: A
6.EE.B.6 단계 1 미지수에 이름 붙이기
- 학생 수를 $S$, 교사 수를 $T$, 애쉬의 나이를 $A$ 라고 합시다.
- 두 팀은 모두 $15$ 명이므로 인원 수의 합은 $15$ 입니다.
- 이 세 양에 이름을 붙이면 문제의 각 단서를 방정식으로 바꿀 수 있습니다.
💡 각 미지수에 문자를 붙여야 문장을 방정식으로 바꿀 수 있습니다.
6.SP.B.5 단계 2 학생 단서를 방정식으로 바꾸기
- 학생 $S$ 명의 나이의 합은 $12S$ 입니다.
- 나이의 합은 평균 곱하기 인원 수이기 때문입니다.
- 애쉬가 합류하면 팀은 $S+1$ 명이 되고 평균이 $14$ 가 되므로 $\dfrac{12S+A}{S+1}=14$ 입니다.
- 양변에 $S+1$ 을 곱하면 $12S+A=14S+14$, 정리하면 $A=2S+14$ 입니다.
💡 합은 평균에 그것을 나눠 가진 사람 수를 곱한 것일 뿐입니다.
6.SP.B.5 단계 3 교사 단서를 방정식으로 바꾸기
- 교사 $T$ 명의 나이의 합은 $55T$ 입니다.
- 애쉬가 합류하면 팀은 $T+1$ 명이 되고 평균이 $52$ 로 내려가므로 $\dfrac{55T+A}{T+1}=52$ 입니다.
- 양변에 $T+1$ 을 곱하면 $55T+A=52T+52$, 정리하면 $A=52-3T$ 입니다.
💡 합 $=$ 평균 $\times$ 인원 수 라는 같은 생각이 어느 팀에 들어가든 똑같이 통합니다.
8.EE.C.8 단계 4 연립방정식으로 팀 인원 구하기
- 두 식이 모두 $A$ 와 같으므로 서로 같다고 놓으면 $2S+14=52-3T$, 정리하면 $2S+3T=38$ 입니다.
- $S+T=15$ 와 함께 두 일차방정식이 됩니다.
- 총합에서 $S=15-T$ 이므로 대입하면 $2(15-T)+3T=38$, 곧 $30+T=38$ 이라서 $T=8$ 입니다.
- 그러면 $S=15-8=7$ 입니다.
💡 두 미지수에 대한 두 개의 직선 관계는 값의 짝을 정확히 하나로 못박습니다.
7.EE.B.4 단계 5 애쉬의 나이 구하기
- $S=7$ 을 $A=2S+14$ 에 넣으면 $A=2(7)+14=28$ 입니다.
- 확인해 보면 교사 식은 $A=52-3(8)=52-24=28$ 을 주어 두 값이 일치합니다.
- 그래서 애쉬는 $28$ 살이고, 이것이 선택지 (A)입니다.
💡 팀 인원이 정해지면 두 나이 식 중 어느 것이든 애쉬의 나이를 알려 줍니다.
6.EE.B.6 학생 수를 $S$, 교사 수를 $T$, 애쉬의 나이를 $A$ 라고 합시다. 두 팀은 모두 $15$ 명이므로 인원 수의 합은 $15$ 입니다. 이 6.SP.B.5 학생 $S$ 명의 나이의 합은 $12S$ 입니다. 나이의 합은 평균 곱하기 인원 수이기 때문입니다. 애쉬가 합류하면 팀은 $S+1$ 명이 되고 6.SP.B.5 교사 $T$ 명의 나이의 합은 $55T$ 입니다. 애쉬가 합류하면 팀은 $T+1$ 명이 되고 평균이 $52$ 로 내려가므로 $\dfrac{55T 8.EE.C.8 두 식이 모두 $A$ 와 같으므로 서로 같다고 놓으면 $2S+14=52-3T$, 정리하면 $2S+3T=38$ 입니다. $S+T=15$ 와 함께 7.EE.B.4 $S=7$ 을 $A=2S+14$ 에 넣으면 $A=2(7)+14=28$ 입니다. 확인해 보면 교사 식은 $A=52-3(8)=52-24=28$ 을 검토
합리성 확인: $28$ 살은 학생들(평균 $12$)보다 훨씬 위이고 교사들(평균 $55$)보다 훨씬 아래에 있으므로, 애쉬가 어린 팀의 평균은 올리고 나이 든 팀의 평균은 내리는 것이 자연스럽습니다. 두 나이 식이 서로 독립적으로 $28$ 을 돌려주니 강한 자체 점검이 됩니다. 아깝게 빗나간 선택지 $29$ 부터 $33$ 까지는, 분모에 $S+1$ 이나 $T+1$ 대신 $S$ 나 $T$ 를 넣는 실수를 잡으려고 놓인 것으로, 그렇게 하면 다른 연립방정식이 되어 틀린 나이가 나옵니다.
대안 접근: 각 평균이 얼마나 움직이는지로 바로 따져 봅시다. 애쉬는 새 인원 $S+1$ 명에 걸쳐 학생 평균을 $2$ 만큼 올리므로 $A=12+2(S+1)$ 입니다. 교사 쪽에서는 $T+1$ 명에 걸쳐 평균을 $3$ 만큼 내리므로 $A=55-3(T+1)$ 입니다. 이 두 식은 앞과 같은 두 직선으로 정리되어, 분수를 한 번도 쓰지 않고 $A=28$ 을 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.B.6변수를 사용해 수를 나타내고 문제를 풀 식을 쓴다 (팀 인원과 애쉬의 나이를 $S$, $T$, $A$ 로 놓고 $S+T=15$ 를 세우는 데 사용.)6.SP.B.5관측값의 개수와 대푯값을 보고하여 수치 자료를 요약한다 (평균 $=$ 나이의 합 $\div$ 인원 수 를 이용해 각 '새 평균' 단서를 일차방정식으로 바꾸는 데 사용.)8.EE.C.8두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 분석하고 푼다 ($2S+3T=38$ 과 $S+T=15$ 를 함께 풀어 $S=7$, $T=8$ 을 얻는 데 사용.)7.EE.B.4변수를 사용해 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세운다 (팀 인원을 $A=2S+14$ 에 다시 넣어 $A=28$ 을 구하는 데 사용.)
⭐ 각 '새 평균' 단서를 '합 $=$ 평균 $\times$ 인원 수' 로 바꾼 뒤, 두 방정식을 함께 푸세요.
⭐ 각 '새 평균' 단서를 '합 $=$ 평균 $\times$ 인원 수' 로 바꾼 뒤, 두 방정식을 함께 푸세요.
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