AMC 10 · 2025 · #4

학년 8 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
mean-median-mode-rangesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangesystems-of-equations
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
학생 팀과 교사 팀을 합치면 15 명입니다. 애쉬(Ash)라는 사람이 학생 팀에 들어가면 그 팀의 평균 나이가 12 에서 14로 오르고, 대신 교사 팀에 들어가면 평균 나이가 55 에서 52로 내려갑니다. 애쉬의 나이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
28
(B)
29
(C)
30
(D)
32
(E)
33

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

단서들이 평균에 관한 말로 되어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 미지수 — 팀 인원 S, T 와 애쉬의 나이 A — 에 이름을 붙여 각 문장을 방정식으로 바꿉니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 각 '새 평균' 조건을, 합 = 평균 × 인원 수 를 이용해 일차방정식으로 바꿉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 학생 쪽과 교사 쪽을 각각 방정식이 나올 때까지 따로 다루게 하고, 그 뒤 두 방정식과 총합을 함께 풀게 합니다.

1STEP 1

미지수에 이름 붙이기

학생 수 S, 교사 수 T, 애쉬의 나이 A 라 두면 두 팀을 합쳐 S+T=15입니다.

S+T=15
2STEP 2

학생 단서를 방정식으로 바꾸기

학생 S 명의 합은 12S. 애쉬가 들면 S+1 명 평균 14 이므로 12S+A=14(S+1), 곧 A=2S+14.

(12S+A)/(S+1)=14 → A=2S+14
3STEP 3

교사 단서를 방정식으로 바꾸기

교사 T 명의 합은 55T. 애쉬가 들면 T+1 명 평균 52 이므로 55T+A=52(T+1), 곧 A=52-3T.

(55T+A)/(T+1)=52 → A=52-3T
4STEP 4

연립방정식으로 팀 인원 구하기

둘 다 A 와 같으니 2S+3T=38. S=15-T 를 넣으면 30+T=38, 따라서 T=8, S=7.

2S+3T=38, S+T=15 → T=8, S=7
5STEP 5

애쉬의 나이 구하기

S=7을 A=2S+14에 넣으면 A=2(7)+14=28. 교사 식 52-3(8)=28도 같으니 애쉬는 28 살, (A).

A=2(7)+14=28 = 52-3(8)
정답
28
28 살은 학생들(평균 12)보다 훨씬 위이고 교사들(평균 55)보다 훨씬 아래에 있으므로, 애쉬가 어린 팀의 평균은 올리고 나이 든 팀의 평균은 내리는 것이 자연스럽습니다. 두 나이 식이 서로 독립적으로 28을 돌려주니 강한 자체 점검이 됩니다. 아깝게 빗나간 선택지 29부터 33 까지는, 분모에 S+1 이나 T+1 대신 S 나 T 를 넣는 실수를 잡으려고 놓인 것으로, 그렇게 하면 다른 연립방정식이 되어 틀린 나이가 나옵니다.
💡핵심 정리

각 '새 평균' 단서를 '합 = 평균 × 인원 수' 로 바꾼 뒤, 두 방정식을 함께 푸세요.

  • 미지수에 이름 붙이기
  • 학생 단서를 방정식으로 바꾸기
  • 교사 단서를 방정식으로 바꾸기
  • 연립방정식으로 팀 인원 구하기
  • 애쉬의 나이 구하기

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