AMC 10 · 2025 · #7

학년 8 algebra

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$a$ 와 $b$ 가 실수라고 하자. 다항식 $x^3+x^2+ax+b$ 를 $x-1$ 로 나누면 나머지가 $4$ 이고, $x-2$ 로 나누면 나머지가 $6$ 이다. $b-a$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼차식 $f(x) = x^3 + x^2 + ax + b$를 $x - 1$로 나누면 나머지가 $4$이고, $x - 2$로 나누면 나머지가 $6$이다. $b - a$의 값을 구하라.

주어진 것: $f(x) = x^3 + x^2 + ax + b$이고 $a$, $b$는 실수이다; $f(x)$를 $x - 1$로 나누면 나머지가 $4$이다; $f(x)$를 $x - 2$로 나누면 나머지가 $6$이다; 선택지: (A) $14$, (B) $15$, (C) $16$, (D) $17$, (E) $18$

구하는 것: $b - a$의 값

이해

문제 재정리: 삼차식 $f(x) = x^3 + x^2 + ax + b$를 $x - 1$로 나누면 나머지가 $4$이고, $x - 2$로 나누면 나머지가 $6$이다. $b - a$의 값을 구하라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

긴 나눗셈이 뻔한 길처럼 보이지만, 나머지 정리를 쓰면 그 과정을 통째로 건너뛸 수 있다: $f(x)$를 $x - c$로 나눈 나머지는 $f(c)$와 같으므로, 각 나머지 조건은 결국 한 점에서의 $f$ 값일 뿐이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 번의 나눗셈을 서로 독립적인 두 단서로 보고, 도구 #4(변수 도입하기)는 각 단서를 미지수 $a$, $b$에 대한 방정식으로 바꾼다. 두 방정식, 두 미지수 — 이 쌍을 풀어 $b - a$를 읽어내면 된다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

나머지를 값으로 읽기

두 번의 나눗셈은 서로 다른 두 사실이므로 각각 따로 다룬다.
나머지 정리는 $f(x)$를 $x - c$로 나눈 나머지가 $f(c)$라고 말한다.
왜냐하면 $f(x) = (x - c)\,q(x) + r$에서 $x = c$를 넣으면 앞항이 사라지기 때문이다.
그래서 나머지가 $4$라는 사실은 $f(1) = 4$가 되고, 나머지가 $6$이라는 사실은 $f(2) = 6$이 된다.

$$f(x) = (x - c)\,q(x) + r \;\Rightarrow\; f(c) = r,\qquad f(1) = 4,\quad f(2) = 6$$

💡 $x = c$를 대입하면 $(x - c)$ 인수가 지워지므로, 남는 것이 정확히 나머지다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

x = 1에서 값 구하기

$f(x) = x^3 + x^2 + ax + b$에 $x = 1$을 대입한다.
숫자 항은 $1 + 1 = 2$이고, $ax + b$는 $a + b$가 된다.
이것을 $4$와 같다고 두면 $a$, $b$에 대한 깔끔한 일차방정식으로 정리된다.

$$f(1) = 1 + 1 + a + b = 4 \;\Rightarrow\; a + b = 2 \tag{i}$$

💡 한 점만 넣으면 삼차식 전체가 $a$와 $b$ 사이의 직선 하나로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 3

x = 2에서 값 구하기

$x = 2$를 대입한다.
이제 $2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$이고, $ax + b$는 $2a + b$가 된다.
합을 $6$과 같다고 두면 두 번째 일차방정식이 나온다.

$$f(2) = 8 + 4 + 2a + b = 6 \;\Rightarrow\; 2a + b = -6 \tag{ii}$$

💡 두 번째 점은 두 번째 직선을 준다; 두 직선이 만나는 곳이 두 조건을 모두 만족하는 유일한 $(a, b)$다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 4

두 방정식 풀기

두 방정식 모두 $b$ 항을 공유하므로, 방정식 (ii)에서 (i)을 빼면 $b$가 사라지고 $a$만 남는다.
그러면 $a = -8$이다.
$a = -8$을 (i)에 다시 넣으면 $b = 10$이다.

$$(2a + b) - (a + b) = -6 - 2 \;\Rightarrow\; a = -8,\qquad -8 + b = 2 \;\Rightarrow\; b = 10$$

💡 방정식끼리 빼면 똑같은 $b$ 항이 지워져, 미지수 하나만 한 번에 풀면 된다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.1 단계 5

b − a 계산하기

문제가 묻는 것은 $a$나 $b$ 각각이 아니라 $b - a$다.
$b = 10$, $a = -8$이므로 음수를 빼는 것은 더하는 것과 같다: $b - a = 10 - (-8) = 18$.
이는 선택지 (E)와 일치한다.

$$b - a = 10 - (-8) = 18 \quad \textbf{(E)}$$

💡 음수를 빼는 것은 그 크기만큼 더하는 것과 같으므로 $10 - (-8) = 18$이다.

[1] #7 6.EE.A.2 두 번의 나눗셈은 서로 다른 두 사실이므로 각각 따로 다룬다. 나머지 정리는 $f(x)$를 $x - c$로 나눈 나머지가 $f(c)$라고 말한다

[2] #4 6.EE.A.2 $f(x) = x^3 + x^2 + ax + b$에 $x = 1$을 대입한다. 숫자 항은 $1 + 1 = 2$이고, $ax + b$는 $a +

[3] #4 6.EE.A.2 $x = 2$를 대입한다. 이제 $2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$이고, $ax + b$는 $2a + b$가 된다. 합을 $6$과 같다

[4] #4 8.EE.C.8 두 방정식 모두 $b$ 항을 공유하므로, 방정식 (ii)에서 (i)을 빼면 $b$가 사라지고 $a$만 남는다. 그러면 $a = -8$이다. $a

[5] #4 7.NS.A.1 문제가 묻는 것은 $a$나 $b$ 각각이 아니라 $b - a$다. $b = 10$, $a = -8$이므로 음수를 빼는 것은 더하는 것과 같다:

검토

합리성 확인: $a = -8$, $b = 10$으로 다항식을 다시 세우면 $f(x) = x^3 + x^2 - 8x + 10$이다. 그러면 $f(1) = 1 + 1 - 8 + 10 = 4$이고 $f(2) = 8 + 4 - 16 + 10 = 6$으로, 두 나머지가 문제에서 준 값과 정확히 같다. 따라서 값이 옳고 $b - a = 18$이다.

대안 접근: $a$와 $b$를 따로 구하지 않아도 된다. 목표인 $b - a$를 두 방정식의 조합으로 바로 만들 수 있다: $a + b = 2$와 $2a + b = -6$에서 $b - a = (a + b) - 2a = 2 - 2(-8) = 18$이 되어, 같은 두 사실만으로 답에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 ($f(x) = x^3 + x^2 + ax + b$를 $x = 1$과 $x = 2$에서 계산하여 각 나머지 조건을 $a$, $b$에 대한 방정식으로 바꾸기.)
8.EE.C.8 연립일차방정식을 분석하고 풀기 (연립방정식 $a + b = 2$와 $2a + b = -6$을 소거법으로 풀어 $a = -8$, $b = 10$을 구하기.)
7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수까지 확장하여 적용하기 ($b - a = 10 - (-8) = 18$을 계산하며 음수를 올바르게 빼기.)

⭐ $x - c$로 나눈 나머지는 곧 값 $f(c)$이므로, 긴 나눗셈 대신 각 수를 대입해 방정식을 세우면 된다.