AMC 10 · 2025 · #7
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
긴 나눗셈이 뻔한 길처럼 보이지만, 나머지 정리를 쓰면 그 과정을 통째로 건너뛸 수 있다: f(x)를 x - c로 나눈 나머지는 f(c)와 같으므로, 각 나머지 조건은 결국 한 점에서의 f 값일 뿐이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 번의 나눗셈을 서로 독립적인 두 단서로 보고, 도구 #4(변수 도입하기)는 각 단서를 미지수 a, b에 대한 방정식으로 바꾼다. 두 방정식, 두 미지수 — 이 쌍을 풀어 b - a를 읽어내면 된다.
나머지를 값으로 읽기
나머지 정리에 따라 x - c로 나눈 나머지는 f(c)이므로, 두 조건은 f(1) = 4, f(2) = 6이 된다.
x = c를 대입하면 (x - c) 인수가 지워지므로, 남는 것이 정확히 나머지다.
특별한 값을 넣으면 그 인수가 지워지고, 남는 것이 바로 나머지다.
▸ 왜?
곱은 인수 가운데 하나가 0인 곳에서 0이 되므로, 그 항 전체가 사라진다.
▸ 왜?
나누는 식의 온전한 벌을 덜어 낸 뒤 남는 것이 바로 나머지다.
x = 1에서 값 구하기
x = 1을 대입하면 1 + 1 + a + b = 4이므로, 일차방정식 a + b = 2로 정리된다.
한 점만 넣으면 삼차식 전체가 a와 b 사이의 직선 하나로 바뀐다.
6.EE.A.2Introduce A Variablex = 2에서 값 구하기
x = 2를 대입하면 8 + 4 + 2a + b = 6이므로, 두 번째 식은 2a + b = -6이다.
두 번째 점은 두 번째 직선을 준다; 두 직선이 만나는 곳이 두 조건을 모두 만족하는 유일한 (a, b)다.
6.EE.A.2Introduce A Variable두 방정식 풀기
두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면 b가 사라져 a = -8이 남고, 되대입하면 b = 10이다.
방정식끼리 빼면 똑같은 b 항이 지워져, 미지수 하나만 한 번에 풀면 된다.
8.EE.C.8Introduce A Variableb − a 계산하기
묻는 것은 a나 b가 아니라 b - a이고, 음수를 빼면 더해지므로 10 - (-8) = 18, 선택지 (E)다.
음수를 빼는 것은 그 크기만큼 더하는 것과 같으므로 10 - (-8) = 18이다.
7.NS.A.1Introduce A Variablex - c로 나눈 나머지는 곧 값 f(c)이므로, 긴 나눗셈 대신 각 수를 대입해 방정식을 세우면 된다.
- 나머지를 값으로 읽기
- x = 1에서 값 구하기
- x = 2에서 값 구하기
- 두 방정식 풀기
- b − a 계산하기