AMC 10 · 2025 · #8

학년 6 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logical-deductionif-then-reasoning casework ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

네 개의 문장이 적혀 있고 각 문장은 참이거나 거짓이다. 각 문장은 네 문장 중 몇 개가 참인지 또는 거짓인지만을 말한다('적어도 하나는 참', '적어도 둘은 참', '적어도 둘은 거짓', '적어도 하나는 거짓'). 오직 이 문장들만 사용해서, 결국 네 문장 중 몇 개가 거짓이 되는지 알아낸다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

각 문장은 참인 문장 또는 거짓인 문장이 몇 개인지만 말하므로, 이 퍼즐 전체는 하나의 수, 즉 참인 문장이 몇 개인지에 달려 있다. 그 수를 T라 하자. 가능한 값은 T = 0, 1, 2, 3, 4의 다섯 개뿐이므로, 각각을 하나씩 넣어 보고 스스로 모순이 없는지 확인하면 된다. 함정은 문장들이 자기 자신을 설명한다는 점이다. 그래서 우리가 추측한 T 값은 정확히 T개의 참인 문장을 만들어 내야 한다. '그럴듯해 보이는' 배치를 곧바로 추론하는 것보다, 다섯 값을 모두 시험하고 어긋나는 것을 버리는 편이 더 빠르고 안전하다.

1STEP 1

참인 문장 개수에 이름 붙이기

참인 문장 수를 T라 하면 거짓인 문장 수는 4 - T이고, T는 0, 1, 2, 3, 4 중 하나다.

T = (참인 개수), (거짓인 개수) = 4 - T, T ∈ {0,1,2,3,4}

2STEP 2

각 문장을 T에 대한 규칙으로 바꾸기

각 문장을 T 조건으로 바꾼다. S1은 T가 1 이상, S2는 2 이상, S3은 2 이하, S4는 3 이하.

S1: T ≥ 1, S2: T ≥ 2, S3: 4 - T ≥ 2 → T ≤ 2, S4: 4 - T ≥ 1 → T ≤ 3

3STEP 3

자기 일관성 규칙 세우기

문장은 그 조건이 성립할 때만 참이므로, 성립하는 조건의 개수가 T와 같아야 한다.

(성립하는 규칙의 개수) = T

4STEP 4

모든 T 값을 시험하기

T마다 성립하는 조건 수를 센다. T = 0은 2개, 1은 3개, 2는 4개, 3은 3개, 4는 2개.

T=0 :2, T=1 :3, T=2 :4, T=3 :3, T=4 :2 (성립하는 규칙)

5STEP 5

어긋나는 값 지우기

0, 1, 2, 4는 자기 개수와 어긋나므로 T = 3만 살아남는다. S1, S2, S4는 참, S3은 거짓.

2 ≠ 0, 3 ≠ 1, 4 ≠ 2, 3=3 ✓, 2 ≠ 4 → T=3

6STEP 6

거짓인 문장 세기

참인 문장이 T = 3개이므로 거짓인 문장은 4 - 3 = 1개, 곧 S3뿐이다. 답은 (B).

4 - T = 4 - 3 = 1

정답

살아남은 경우를 직접 확인하자. S1, S2, S4가 참이고 S3이 거짓이면 거짓인 문장은 정확히 하나다. S1('적어도 하나 참')은 세 개가 참이므로 성립하고, S2('적어도 둘 참')도 성립하며, S4('적어도 하나 거짓')는 하나가 거짓이므로 성립한다. 그리고 S3('적어도 둘 거짓')은 거짓인 문장이 하나뿐이므로 올바르게 거짓이다. 모두 아귀가 맞고, 다섯 값 중 T = 3만이 살아남으므로 거짓인 문장의 개수는 1로 확정되어 보기 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

문장이 자기 자신을 말할 때는, 참인 개수를 추측하고 그 추측이 참으로 만드는 규칙의 수를 센 다음, 자기 개수와 딱 맞는 추측만 남긴다.

참인 문장 개수에 이름 붙이기
각 문장을 T에 대한 규칙으로 바꾸기
자기 일관성 규칙 세우기
모든 T 값을 시험하기
어긋나는 값 지우기
거짓인 문장 세기