AMC 10 · 2025 · #8

학년 6 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logical-deductionif-then-reasoning casework ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

아그네스가 빈 종이에 다음 네 개의 문장을 쓴다.

$\bullet$ 이 문장들 중 적어도 하나는 참이다.

$\bullet$ 이 문장들 중 적어도 둘은 참이다.

$\bullet$ 이 문장들 중 적어도 둘은 거짓이다.

$\bullet$ 이 문장들 중 적어도 하나는 거짓이다.

각 문장은 참이거나 거짓이다. 아그네스가 종이에 쓴 거짓 문장은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 개의 문장이 적혀 있고 각 문장은 참이거나 거짓이다. 각 문장은 네 문장 중 몇 개가 참인지 또는 거짓인지만을 말한다('적어도 하나는 참', '적어도 둘은 참', '적어도 둘은 거짓', '적어도 하나는 거짓'). 오직 이 문장들만 사용해서, 결국 네 문장 중 몇 개가 거짓이 되는지 알아낸다.

주어진 것: 문장은 정확히 네 개이고, 각 문장은 참이거나 거짓이다.; S1은 '네 문장 중 적어도 하나는 참이다'라고 말한다.; S2는 '네 문장 중 적어도 둘은 참이다'라고 말한다.; S3은 '네 문장 중 적어도 둘은 거짓이다'라고 말한다.; S4는 '네 문장 중 적어도 하나는 거짓이다'라고 말한다.

구하는 것: 네 문장 중 몇 개가 거짓인지.

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

각 문장은 참인 문장 또는 거짓인 문장이 몇 개인지만 말하므로, 이 퍼즐 전체는 하나의 수, 즉 참인 문장이 몇 개인지에 달려 있다. 그 수를 T라 하자. 가능한 값은 T = 0, 1, 2, 3, 4의 다섯 개뿐이므로, 각각을 하나씩 넣어 보고 스스로 모순이 없는지 확인하면 된다. 함정은 문장들이 자기 자신을 설명한다는 점이다. 그래서 우리가 추측한 T 값은 정확히 T개의 참인 문장을 만들어 내야 한다. '그럴듯해 보이는' 배치를 곧바로 추론하는 것보다, 다섯 값을 모두 시험하고 어긋나는 것을 버리는 편이 더 빠르고 안전하다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

참인 문장 개수에 이름 붙이기

참인 문장의 개수를 T라 하자.
그러면 거짓인 문장의 개수는 4 - T이다.
네 문장이 참과 거짓으로만 나뉘기 때문이다.
T가 될 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4뿐이다.

T = (\text{참인 개수}), \quad (\text{거짓인 개수}) = 4 - T, \quad T \in \{0,1,2,3,4\}

💡 모든 문장은 개수만 따지므로, 수 하나 T가 우리가 필요한 정보를 전부 담는다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.B.8 단계 2

각 문장을 T에 대한 규칙으로 바꾸기

각 문장은 개수에 대한 주장이므로 T에 대한 조건으로 바꿔 쓴다.
'적어도 하나 참'은 T가 1 이상이라는 뜻이고, '적어도 둘 참'은 T가 2 이상이라는 뜻이다.
거짓 개수에 대한 두 문장은 관점을 바꿔서 쓴다.
'적어도 둘 거짓'은 4 - T가 2 이상, 즉 T가 2 이하라는 뜻이고, '적어도 하나 거짓'은 4 - T가 1 이상, 즉 T가 3 이하라는 뜻이다.

$$S1: T \ge 1, \quad S2: T \ge 2, \quad S3: 4 - T \ge 2 \Rightarrow T \le 2, \quad S4: 4 - T \ge 1 \Rightarrow T \le 3$$

💡 거짓 개수는 4에서 참 개수를 뺀 것뿐이므로, 모든 문장이 T에 대한 간단한 크기 비교가 된다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 3

자기 일관성 규칙 세우기

어떤 문장은 그 규칙이 성립할 때 정확히 참이 된다.
그러므로 성립하는 규칙의 개수는 참인 문장의 개수, 즉 T와 같다.
여기서 핵심 조건이 나온다.
추측이 일관되려면, 참으로 나오는 규칙의 개수가 T 자신과 같아야 한다.

(\text{성립하는 규칙의 개수}) = T

💡 문장들이 자기 자신을 설명하므로, 좋은 T 값은 자기 자신의 머릿수를 스스로 맞혀야 한다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 4

모든 T 값을 시험하기

T = 0, 1, 2, 3, 4를 차례로 넣어 네 규칙 S1..S4 중 몇 개가 성립하는지 센다.
T = 0: S3과 S4만 성립하므로 2개.
T = 1: S1, S3, S4가 성립하므로 3개.
T = 2: 네 개 모두 성립하므로 4개.
T = 3: S1, S2, S4는 성립하지만 S3은 실패하므로 3개.
T = 4: S1과 S2만 성립하므로 2개.

T=0\!:2,\quad T=1\!:3,\quad T=2\!:4,\quad T=3\!:3,\quad T=4\!:2 \ \ (\text{성립하는 규칙})

💡 각 추측을 넣어 보고 네 크기 비교 중 몇 개가 통과하는지 세기만 하면 된다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 5

어긋나는 값 지우기

성립하는 규칙의 개수가 T와 같은 값만 남긴다.
T = 0은 2개(0이 아님), T = 1은 3개(1이 아님), T = 2는 4개(2가 아님), T = 4는 2개(4가 아님)이므로 이 넷은 모두 불가능하다.
T = 3은 3개로 맞아떨어진다.
따라서 T = 3만이 일관된 경우다.
S1, S2, S4는 참이고 S3은 거짓이다.

$$2\ne0,\ 3\ne1,\ 4\ne2,\ 3=3\ \checkmark,\ 2\ne4 \ \Rightarrow\ T=3$$

💡 자기 머릿수를 스스로 맞히는 추측만 살아남고, 나머지는 자기 모순에 빠진다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 6

거짓인 문장 세기

참인 문장이 T = 3개이므로, 거짓인 문장의 개수는 4 - 3 = 1이다.
따라서 정확히 한 문장(S3)이 거짓이고, 답은 (B)이다.

$$4 - T = 4 - 3 = 1$$

💡 세 개가 참임을 알면, 남는 거짓의 개수는 그저 4에서 3을 뺀 것이다.

[1] #4 6.EE.A.2 참인 문장의 개수를 T라 하자. 그러면 거짓인 문장의 개수는 4 - T이다. 네 문장이 참과 거짓으로만 나뉘기 때문이다. T가 될 수 있는 값은

[2] #16 6.EE.B.8 각 문장은 개수에 대한 주장이므로 T에 대한 조건으로 바꿔 쓴다. '적어도 하나 참'은 T가 1 이상이라는 뜻이고, '적어도 둘 참'은 T가 2

[3] #6 6.EE.B.5 어떤 문장은 그 규칙이 성립할 때 정확히 참이 된다. 그러므로 성립하는 규칙의 개수는 참인 문장의 개수, 즉 T와 같다. 여기서 핵심 조건이 나

[4] #6 6.EE.B.5 T = 0, 1, 2, 3, 4를 차례로 넣어 네 규칙 S1..S4 중 몇 개가 성립하는지 센다. T = 0: S3과 S4만 성립하므로 2개.

[5] #3 6.EE.B.5 성립하는 규칙의 개수가 T와 같은 값만 남긴다. T = 0은 2개(0이 아님), T = 1은 3개(1이 아님), T = 2는 4개(2가 아님),

[6] #16 4.OA.A.3 참인 문장이 T = 3개이므로, 거짓인 문장의 개수는 4 - 3 = 1이다. 따라서 정확히 한 문장(S3)이 거짓이고, 답은 (B)이다.

검토

합리성 확인: 살아남은 경우를 직접 확인하자. S1, S2, S4가 참이고 S3이 거짓이면 거짓인 문장은 정확히 하나다. S1('적어도 하나 참')은 세 개가 참이므로 성립하고, S2('적어도 둘 참')도 성립하며, S4('적어도 하나 거짓')는 하나가 거짓이므로 성립한다. 그리고 S3('적어도 둘 거짓')은 거짓인 문장이 하나뿐이므로 올바르게 거짓이다. 모두 아귀가 맞고, 다섯 값 중 T = 3만이 살아남으므로 거짓인 문장의 개수는 1로 확정되어 보기 (B)와 일치한다.

대안 접근: 다섯 값을 모두 시험하는 대신 양 끝에서 추론할 수도 있다. S1과 S4는 빠르게 확인된다. 네 개가 모두 참이면 S4('적어도 하나 거짓')가 거짓이 되어 모순이고, 네 개가 모두 거짓이면 S1도 거짓이어야 하는데 '적어도 하나 거짓'은 분명히 참이므로 또 모순이다. 따라서 T는 0과 4 사이에 엄밀히 있고, 가운데 값들을 짧게 확인하면 다시 T = 3이 남아 거짓인 문장은 1개가 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 (참인 문장의 개수를 T로 놓고, 거짓인 문장의 개수를 4 - T로 쓰는 데 사용.)
6.EE.B.8 x > c 또는 x < c 꼴의 부등식을 쓰고 수직선에 나타내기 (각 '적어도' 문장을 T >= 2나 T <= 2 같은 T에 대한 부등식으로 바꿔 쓰는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 참으로 만드는 값을 찾는 과정으로 이해하기 (T의 각 후보 값을 시험해 그것이 만족시키는 규칙의 개수가 T와 같은지 확인하고, 자기 일관성 조건을 참으로 만드는 값만 남기는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (T를 알아낸 뒤 거짓인 문장의 개수를 4 - 3 = 1로 계산하는 데 사용.)

⭐ 문장이 자기 자신을 말할 때는, 참인 개수를 추측하고 그 추측이 참으로 만드는 규칙의 수를 센 다음, 자기 개수와 딱 맞는 추측만 남긴다.