AMC 10 · 2025 · #10
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
복잡한 두 삼차식의 비를 정면으로 다루면 막막하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 가지 깔끔한 일로 나눈다: f 인수분해, g 인수분해, 그다음 비교. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 작은 정수를 넣어 첫 근을 찾아 각 삼차식을 깨뜨린다. 둘 다 인수분해되면 도구 #15(다르게 정리하기)로 줄어든 분수 (n-2)/(n-3)를 1+1/(n-3)로 다시 써서, "언제 정수인가?"를 간단한 나누어떨어짐 문제로 바꾼다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 원래 분수를 몰래 망가뜨리는 값을 제거한다.
위쪽 삼차식 인수분해
f 에 n=-1을 넣으면 0 이므로 n+1이 인수. 나누면 n²-6n+8이 남아 f(n)=(n+1)(n-2)(n-4).
어떤 수에서 값이 0이 되는 다항식은 그 수에 해당하는 인수를 반드시 안에 숨기고 있다.
어떤 수에서 0이 되는 다항식은 그 수의 인수를 안에 숨기고 있어야 한다.
▸ 왜?
곱은 인수 가운데 하나가 0인 곳에서만 0이 되므로, 그 근이 인수 하나를 표시한다.
▸ 왜?
그 인수로 나누면 나머지가 남지 않으며, 그래서 그 인수분해가 정확하다.
아래쪽 삼차식 인수분해
g 도 같다. n=-1이 또 통하고 남는 이차식은 n²-7n+12이라 g(n)=(n+1)(n-3)(n-4).
각 삼차식을 세 개의 간단한 인수로 쪼개면 두 식을 나란히 맞춰 보기 쉬워진다.
7.EE.A.1Identify Subproblems공통 인수 약분하기
둘 다 n+1과 n-4를 가지므로, 0이 아닌 곳에서만 약분하면 (n-2)/(n-3) 만 남는다.
위와 아래에서 같은 인수는 나누면 1이 되므로, 무섭던 삼차식이 깔끔한 하나의 비로 줄어든다.
7.NS.A.2Identify Subproblems정수 부분 떼어내기
n-2를 (n-3)+1로 쓰면 비가 1+1/(n-3) 로 갈라져, 나머지 조각만 결과를 정한다.
이미 들어 있는 1을 벗겨내면 걱정할 것은 작은 분수 하나뿐이다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways나머지가 언제 정수인가?
1/(n-3)이 정수이려면 n-3이 1을 나눠야 하고, 1의 정수 약수는 1과 -1 뿐이다.
단위분수 1/k는 분모가 가장 작을 때, 즉 ±1 일 때만 정수가 된다.
4.OA.B.4Organize Information In More Ways후보 값 구하기
작은 두 방정식을 푼다. n-3=1은 n=4를, n-3=-1은 n=2를 주니 후보는 n=4와 n=2 뿐이다.
허용된 n-3 값 각각이 곧바로 하나의 n 값을 가리킨다.
8.EE.C.7Guess And Check가짜 해 버리고 더하기
n=4는 f 와 g 를 동시에 0으로 만들어 0/0이라 기각. n=2만 남으니 합은 2, 답은 (A).
약분은 실제 분수가 폭발하는 지점을 숨길 수 있으니, 살아남은 값은 항상 원래 식에 확인해야 한다.
6.EE.A.2Eliminate Possibilities두 삼차식을 인수분해하고 공통 인수를 약분해 1+1/(n-3)을 얻은 뒤, 정수 결과는 n-3=±1 에서만 나온다 — 단, n=4는 실제 분수를 0/0으로 만들므로 버린다.
- 위쪽 삼차식 인수분해
- 아래쪽 삼차식 인수분해
- 공통 인수 약분하기
- 정수 부분 떼어내기
- 나머지가 언제 정수인가?
- 후보 값 구하기
- 가짜 해 버리고 더하기