AMC 10 · 2025 · #10

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

polynomial-factoringpolynomial-rootsfactors identify-subproblems ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$f(n)=n^3-5n^2+2n+8$ 이고 $g(n)=n^3-6n^2+5n+12$ 라고 하자. $\tfrac{f(n)}{g(n)}$ 이 정수가 되도록 하는 모든 정수 $n$ 의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 삼차식 $f(n)=n^3-5n^2+2n+8$ 과 $g(n)=n^3-6n^2+5n+12$ 가 주어진다. 분수 $\tfrac{f(n)}{g(n)}$ 가 정수가 되는 모든 정수 $n$ 을 찾은 뒤, 그 정수들을 모두 더한다.

주어진 것: $f(n)=n^3-5n^2+2n+8$; $g(n)=n^3-6n^2+5n+12$; $n$ 은 정수 범위에서 움직인다; $\tfrac{f(n)}{g(n)}$ 가 정수(나눗셈이 딱 떨어짐)일 때만 그 $n$ 을 남긴다; 선택지: (A) 2, (B) 3, (C) 4, (D) 5, (E) 6

구하는 것: $\tfrac{f(n)}{g(n)}$ 를 정수로 만드는 모든 정수 $n$ 의 합

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

복잡한 두 삼차식의 비를 정면으로 다루면 막막하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 가지 깔끔한 일로 나눈다: $f$ 인수분해, $g$ 인수분해, 그다음 비교. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 작은 정수를 넣어 첫 근을 찾아 각 삼차식을 깨뜨린다. 둘 다 인수분해되면 도구 #15(다르게 정리하기)로 줄어든 분수 $\tfrac{n-2}{n-3}$ 를 $1+\tfrac{1}{n-3}$ 로 다시 써서, "언제 정수인가?"를 간단한 나누어떨어짐 문제로 바꾼다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 원래 분수를 몰래 망가뜨리는 값을 제거한다.

실행 — 정답: A

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 1

위쪽 삼차식 인수분해

작은 수를 넣어 $f$ 의 정수 근을 찾는다.
$n=-1$ 을 넣으면 $-1-5-2+8=0$ 이므로 $n+1$ 이 인수이다.
$n+1$ 로 나누면 $n^2-6n+8=(n-2)(n-4)$ 가 남는다.
따라서 $f(n)=(n+1)(n-2)(n-4)$ 이고, 근 $2$ 와 $4$ 를 확인하면 $f(2)=f(4)=0$ 이다.

$$f(n)=n^3-5n^2+2n+8=(n+1)(n-2)(n-4)$$

💡 어떤 수에서 값이 $0$ 이 되는 다항식은 그 수에 해당하는 인수를 반드시 안에 숨기고 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 2

아래쪽 삼차식 인수분해

$g$ 도 똑같이 한다.
여기서도 $n=-1$ 이 통한다: $-1-6-5+12=0$ 이므로 $n+1$ 이 인수이다.
$n+1$ 로 나누면 $n^2-7n+12=(n-3)(n-4)$ 가 남는다.
따라서 $g(n)=(n+1)(n-3)(n-4)$ 이고, 근은 $-1$, $3$, $4$ 이다.

$$g(n)=n^3-6n^2+5n+12=(n+1)(n-3)(n-4)$$

💡 각 삼차식을 세 개의 간단한 인수로 쪼개면 두 식을 나란히 맞춰 보기 쉬워진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 3

공통 인수 약분하기

인수분해한 두 식으로 분수를 쓰고 공통으로 가진 조각 $n+1$ 과 $n-4$ 를 약분한다(그 인수들이 $0$ 이 아닐 때, 즉 $n\neq-1$, $n\neq4$ 에서만 허용).
남는 것은 훨씬 간단한 분수이다.
$g(n)=0$ 은 $n=-1,3,4$ 에서 생기므로 이 값들은 이미 금지된다.

$$\dfrac{f(n)}{g(n)}=\dfrac{(n+1)(n-2)(n-4)}{(n+1)(n-3)(n-4)}=\dfrac{n-2}{n-3}$$

💡 위와 아래에서 같은 인수는 나누면 $1$ 이 되므로, 무섭던 삼차식이 깔끔한 하나의 비로 줄어든다.

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 4

정수 부분 떼어내기

$n-2$ 를 $(n-3)+1$ 로 다시 쓴다.
그러면 분수가 정수 하나에 작은 나머지가 더해진 꼴로 분리된다: $\tfrac{n-2}{n-3}=1+\tfrac{1}{n-3}$.
이제 $1$ 은 항상 정수이므로, 이 분수는 나머지 $\tfrac{1}{n-3}$ 이 정수일 때 정확히 정수가 된다.

$$\dfrac{n-2}{n-3}=\dfrac{(n-3)+1}{n-3}=1+\dfrac{1}{n-3}$$

💡 이미 들어 있는 $1$ 을 벗겨내면 걱정할 것은 작은 분수 하나뿐이다.

#15 다르게 정리하기 4.OA.B.4 단계 5

나머지가 언제 정수인가?

$\tfrac{1}{n-3}$ 은 분모 $n-3$ 이 $1$ 을 정확히 나눌 때만 정수이다.
$1$ 을 나누는 정수는 $1$ 과 $-1$ 뿐이다.
따라서 $n-3$ 은 $1$ 또는 $-1$ 이어야 한다.

$$\tfrac{1}{n-3}\in\mathbb{Z}\iff (n-3)\mid 1\iff n-3\in\{1,-1\}$$

💡 단위분수 $\tfrac{1}{k}$ 는 분모가 가장 작을 때, 즉 $\pm1$ 일 때만 정수가 된다.

#6 추측하고 확인하기 8.EE.C.7 단계 6

후보 값 구하기

작은 두 방정식을 푼다.
$n-3=1$ 은 $n=4$ 를, $n-3=-1$ 은 $n=2$ 를 준다.
이 둘이 전체 비를 정수로 만들 수 있는 유일한 정수들이다.

$$n-3=1\Rightarrow n=4;\qquad n-3=-1\Rightarrow n=2$$

💡 허용된 $n-3$ 값 각각이 곧바로 하나의 $n$ 값을 가리킨다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.2 단계 7

가짜 해 버리고 더하기

$n=4$ 를 원래 분수에 확인한다: $f(4)=0$ 이면서 $g(4)=0$ 이라 $\tfrac{0}{0}$ 이 되어 정의되지 않으므로 $n=4$ 는 허용되지 않는다.
$n=2$ 만 살아남고, 그때 $\tfrac{f(2)}{g(2)}=\tfrac{0}{6}=0$ 으로 진짜 정수이다.
유효한 정수의 합은 $2$ 뿐이므로 답은 (A) 이다.

$g(4)=0\Rightarrow$ 기각; $\ \tfrac{f(2)}{g(2)}=\tfrac{0}{6}=0;\ \ \text{합}=2=\textbf{(A)}$

💡 약분은 실제 분수가 폭발하는 지점을 숨길 수 있으니, 살아남은 값은 항상 원래 식에 확인해야 한다.

[1] #6 6.EE.A.2 작은 수를 넣어 $f$ 의 정수 근을 찾는다. $n=-1$ 을 넣으면 $-1-5-2+8=0$ 이므로 $n+1$ 이 인수이다. $n+1$ 로 나누

[2] #7 7.EE.A.1 $g$ 도 똑같이 한다. 여기서도 $n=-1$ 이 통한다: $-1-6-5+12=0$ 이므로 $n+1$ 이 인수이다. $n+1$ 로 나누면 $n^

[3] #7 7.NS.A.2 인수분해한 두 식으로 분수를 쓰고 공통으로 가진 조각 $n+1$ 과 $n-4$ 를 약분한다(그 인수들이 $0$ 이 아닐 때, 즉 $n\neq-1

[4] #15 6.EE.A.3 $n-2$ 를 $(n-3)+1$ 로 다시 쓴다. 그러면 분수가 정수 하나에 작은 나머지가 더해진 꼴로 분리된다: $\tfrac{n-2}{n-3}

[5] #15 4.OA.B.4 $\tfrac{1}{n-3}$ 은 분모 $n-3$ 이 $1$ 을 정확히 나눌 때만 정수이다. $1$ 을 나누는 정수는 $1$ 과 $-1$ 뿐이다

[6] #6 8.EE.C.7 작은 두 방정식을 푼다. $n-3=1$ 은 $n=4$ 를, $n-3=-1$ 은 $n=2$ 를 준다. 이 둘이 전체 비를 정수로 만들 수 있는 유

[7] #3 6.EE.A.2 $n=4$ 를 원래 분수에 확인한다: $f(4)=0$ 이면서 $g(4)=0$ 이라 $\tfrac{0}{0}$ 이 되어 정의되지 않으므로 $n=4

검토

합리성 확인: 우승 값을 직접 확인한다: $f(2)=8-20+4+8=0$ 이고 $g(2)=8-24+10+12=6$ 이므로 $\tfrac{f(2)}{g(2)}=\tfrac{0}{6}=0$ 은 정수이고, $n=2$ 는 진짜로 성립한다. 다른 후보 $n=4$ 는 두 삼차식을 동시에 $0$ 으로 만들어 ($\tfrac{0}{0}$) 기각하는 것이 옳다. 바로 이 때문에 답이 $2+4=6$ 이 아니라 $2$ 이며, 함정 선택지 (E) 가 배제된다. 줄인 꼴 $1+\tfrac{1}{n-3}$ 은 $n-3=\pm1$ 인 두 지점에서만 정수가 될 수 있으므로 다른 정수는 끼어들 수 없고, 합이 $2$ 임이 확인된다.

대안 접근: 인수분해를 건너뛰고, 선택지가 암시하는 작은 정수들($n=1,2,3,4,5$)을 $\tfrac{f(n)}{g(n)}$ 에 직접 넣어 볼 수도 있다. $n=2$ 만 정수를 주고($n=4$ 는 $\tfrac{0}{0}$), 같은 합 $2$ 에 도달한다. 이 대입 확인은 시험장에서 빠르지만, 더 큰 정수가 통하지 않음을 증명하지는 못한다 — 그것은 인수분해 방법만이 보장한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (작은 정수를 삼차식에 대입해 근을 찾고, 살아남은 값 $n=2$(및 기각된 $n=4$)를 원래 분수에 다시 확인하는 데 사용.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions (각 삼차식을 일차식들의 곱 $(n+1)(n-2)(n-4)$ 와 $(n+1)(n-3)(n-4)$ 로 인수분해하는 데 사용.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (공통 인수 $n+1$ 과 $n-4$ 를 약분해 비를 $\tfrac{n-2}{n-3}$ 로 줄이는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($\tfrac{n-2}{n-3}$ 를 동치인 $1+\tfrac{1}{n-3}$ 로 다시 써서 분수 부분을 분리하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($\tfrac{1}{n-3}$ 이 $n-3$ 이 $1$ 을 나눌 때, 즉 $\pm1$ 일 때만 정수임을 알아채는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($n-3=1$ 과 $n-3=-1$ 을 풀어 후보 값 $n=4$ 와 $n=2$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 두 삼차식을 인수분해하고 공통 인수를 약분해 $1+\tfrac{1}{n-3}$ 을 얻은 뒤, 정수 결과는 $n-3=\pm1$ 에서만 나온다 — 단, $n=4$ 는 실제 분수를 $\tfrac{0}{0}$ 으로 만들므로 버린다.