AMC 10 · 2025 · #11

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

derangementcombinations-basicprobability-basic principle-of-inclusion-exclusion ↑ 선수 지식: permutations-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

월요일에 6명의 학생이 각각 6명의 튜터 중 한 명에게 무작위로 배정된다(튜터 한 명당 학생 한 명). 화요일에도 같은 6명의 학생이 같은 6명의 튜터에게 다시 무작위로 배정된다. 정확히 2명의 학생이 월요일과 같은 튜터를 다시 만날 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{16}$

(B)

$\frac{3}{16}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{3}{8}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

무작위인 두 날을 따로 보면 복잡하니, 도구 #15(다르게 정리하기)로 하나의 대상으로 바꾼다. 월요일을 기준으로 고정하면 화요일은 학생들을 한 번 무작위로 다시 섞는 것이 된다. 그러면 "두 날 모두 같은 튜터를 만났다"는 것은 그 학생이 제자리에 남는 것, 즉 고정점이 된다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 똑같이 나타나는 경우를 센다: 전체 6!가지 섞기, 그리고 어느 두 명이 남는지 고르는 C(6, 2)가지. 어려운 부분은 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건 세기)로 처리한다 — 나머지 네 명은 모두 자리를 옮겨야 하며, 이 "모두가 자리를 바꾸는" 개수를 교란순열이라 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이 세 개의 셈을 나눠 두어 각각을 쉽게 유지한다.

1STEP 1

두 날을 한 번의 섞기로 바꾸기

월요일을 고정하면 화요일은 여섯 학생을 한 번 다시 섞는 것일 뿐이고, 같은 튜터를 다시 만남은 제자리에 남는 것이다.

두 날 같은 튜터 ⇔ 화요일 섞기에서 학생이 제자리에 남음

2STEP 2

똑같이 나타나는 모든 경우 세기

튜터를 차례로 6, 5, 4, 3, 2, 1가지로 채우면 화요일 짝짓기는 720가지, 이것이 분모다.

6! = 6·5·4·3·2·1 = 720

3STEP 3

남는 학생 2명 고르기

월요일 튜터를 유지할 두 명을 먼저 고른다. 순서는 상관없으니 C(6, 2) = 15가지다.

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

4STEP 4

나머지 4명은 모두 옮기게 하기

나머지 4명은 모두 튜터가 바뀌어야 한다(교란순열). 포함–배제로 24 - 24 + 12 - 4 + 1 = 9가지.

24 - 24 + 12 - 4 + 1 = 9

5STEP 5

유리한 경우로 합치기

두 명 고르기와 나머지 교란시키기는 곱해진다: 유리한 경우는 15 · 9 = 135가지.

C(6, 2) · D₄ = 15 · 9 = 135

6STEP 6

나누고 약분하기

유리한 경우를 전체로 나누면 135/720이고, 45로 약분하면 3/16, 곧 선택지 (B)다.

P = 135/720 = (45 · 3)/(45 · 16) = 3/16 = (B)

정답

3/16

유리한 경우의 수 135는 전체 720보다 작으므로 확률은 1보다 작다 — 상식 검사 통과. 또한 정확히 두 명만 돌아오는(더도 덜도 아닌) 것은 꽤 특별한 사건이므로 확률이 작아야 하는데, 3/16≈ 0.19가 이에 잘 맞는다. 교차 확인: 여섯 개를 섞을 때 고정점 개수별 경우의 수 C(6, k)D₆-k는 k=0,1,2,3,4,5,6에 대해 265,264,135,40,15,0,1이고, 이들의 합은 정확히 720이다 — 그리고 k=2 항이 우리가 구한 135다. 이는 개수와 겹셈이 없음을 함께 확인해 주므로 3/16가 옳다.

💡핵심 정리

첫날을 고정하고 둘째 날을 섞기로 보면 된다: 남을 학생 2명을 고르고(15가지), 나머지 4명은 모두 옮기게 한 뒤(9가지), 15 · 9=135를 720으로 나누면 3/16이다.

두 날을 한 번의 섞기로 바꾸기
똑같이 나타나는 모든 경우 세기
남는 학생 2명 고르기
나머지 4명은 모두 옮기게 하기
유리한 경우로 합치기
나누고 약분하기