AMC 10 · 2025 · #11
학년 7 probability월요일에 학생 6명이 동시에 학습 센터를 찾았고, 각 학생은 근무 중인 6명의 지도 교사 중 한 명에게 무작위로 배정되었다. 화요일에도 같은 학생 6명이 찾아왔고, 같은 지도 교사 6명이 근무 중이었으며, 학생들은 다시 지도 교사에게 무작위로 배정되었다. 월요일과 화요일 모두 같은 지도 교사와 만난 학생이 정확히 2명일 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 월요일에 6명의 학생이 각각 6명의 튜터 중 한 명에게 무작위로 배정된다(튜터 한 명당 학생 한 명). 화요일에도 같은 6명의 학생이 같은 6명의 튜터에게 다시 무작위로 배정된다. 정확히 $2$명의 학생이 월요일과 같은 튜터를 다시 만날 확률을 구하여라.
주어진 것: 학생 $6$명과 튜터 $6$명이 매일 일대일로 짝지어짐; 월요일: 각 학생이 튜터에게 무작위로 배정됨; 화요일: 같은 학생들이 독립적으로 다시 무작위 배정됨; "두 날 모두 같은 튜터를 만났다"는 것은 화요일 튜터가 월요일 튜터와 같다는 뜻; 선택지: (A) $\tfrac{1}{16}$, (B) $\tfrac{3}{16}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{3}{8}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
구하는 것: $6$명 중 정확히 $2$명이 화요일에 월요일과 같은 튜터를 다시 만날 확률
이해
문제 재정리: 월요일에 6명의 학생이 각각 6명의 튜터 중 한 명에게 무작위로 배정된다(튜터 한 명당 학생 한 명). 화요일에도 같은 6명의 학생이 같은 6명의 튜터에게 다시 무작위로 배정된다. 정확히 $2$명의 학생이 월요일과 같은 튜터를 다시 만날 확률을 구하여라.
주어진 것: 학생 $6$명과 튜터 $6$명이 매일 일대일로 짝지어짐; 월요일: 각 학생이 튜터에게 무작위로 배정됨; 화요일: 같은 학생들이 독립적으로 다시 무작위 배정됨; "두 날 모두 같은 튜터를 만났다"는 것은 화요일 튜터가 월요일 튜터와 같다는 뜻; 선택지: (A) $\tfrac{1}{16}$, (B) $\tfrac{3}{16}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{3}{8}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
계획
주요 도구: #15 다르게 정리하기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
무작위인 두 날을 따로 보면 복잡하니, 도구 #15(다르게 정리하기)로 하나의 대상으로 바꾼다. 월요일을 기준으로 고정하면 화요일은 학생들을 한 번 무작위로 다시 섞는 것이 된다. 그러면 "두 날 모두 같은 튜터를 만났다"는 것은 그 학생이 제자리에 남는 것, 즉 고정점이 된다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 똑같이 나타나는 경우를 센다: 전체 $6!$가지 섞기, 그리고 어느 두 명이 남는지 고르는 $\binom{6}{2}$가지. 어려운 부분은 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건 세기)로 처리한다 — 나머지 네 명은 모두 자리를 옮겨야 하며, 이 "모두가 자리를 바꾸는" 개수를 교란순열이라 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이 세 개의 셈을 나눠 두어 각각을 쉽게 유지한다.
실행 — 정답: B
7.SP.C.7 단계 1 두 날을 한 번의 섞기로 바꾸기
- 월요일의 짝을 기준 그림으로 고정한다.
- 화요일은 같은 여섯 학생을 같은 여섯 튜터에게 한 명씩 다시 나눠 주므로, 월요일과 비교하면 화요일은 학생들을 한 번 무작위로 다시 섞는 것일 뿐이다.
- 학생이 "두 날 모두 같은 튜터를 만났다"는 것은 이 섞기가 그 학생을 월요일 튜터에게 그대로 되돌려 놓은 것, 즉 바뀌지 않고 남은 자리다.
- 따라서 문제는 이렇게 바뀐다: $6$개를 무작위로 섞을 때 정확히 $2$개가 제자리에 남을 확률은?
💡 화요일을 고정된 월요일과 비교하면 두 개의 무작위 사건이 셀 수 있는 하나로 바뀐다.
7.SP.C.8 단계 2 똑같이 나타나는 모든 경우 세기
- 가능한 모든 화요일 짝짓기를 센다.
- 첫 번째 튜터는 $6$명 중 아무나, 다음 튜터는 남은 $5$명 중 하나, 그다음은 $4$, $3$, $2$, $1$명.
- 이를 곱하면 $6! = 720$가지의 똑같이 나타나는 일대일 짝짓기가 나온다.
- 이것이 확률의 분모다.
💡 튜터를 하나씩 채우며 선택지를 줄여 가면 빠뜨리거나 겹치지 않고 모든 짝짓기를 센다.
7.SP.C.8 단계 3 남는 학생 2명 고르기
- 정확히 두 학생이 월요일 튜터를 유지하려면 먼저 그 두 명이 누구인지 고른다.
- $6$명 중 순서 상관없이 $2$명을 고르는 것은 $\binom{6}{2} = \tfrac{6\cdot5}{2} = 15$가지다.
💡 누가 남을지 정하는 것은 누가 움직이는지 걱정하기 전에 하는 단순한 두 명 고르기다.
7.SP.C.8 단계 4 나머지 4명은 모두 옮기게 하기
- 남은 $4$명은 각자 월요일과 다른 튜터로 가야 한다.
- 그렇지 않으면 두 명보다 많은 수가 남게 된다.
- $4$개를 섞을 때 아무도 제자리에 남지 않는 경우(교란순열)를 센다.
- 전체 $4! = 24$가지에서 시작해 적어도 한 명이 남는 경우를 포함–배제로 빼낸다: 한 명을 남게 고르는 $\binom{4}{1}3!=24$를 빼고, 겹쳐 센 $\binom{4}{2}2!=12$를 더하고, $\binom{4}{3}1!=4$를 빼고, $\binom{4}{4}0!=1$을 더한다.
- 그러면 네 명 모두 움직이는 경우가 $24-24+12-4+1 = 9$가지 남는다.
💡 "아무도 안 남는" 경우는 전체에서 누군가 남는 배열을 벗겨 내는 것이 가장 쉽다.
4.OA.A.3 단계 5 유리한 경우로 합치기
- 유리한 화요일은 먼저 남는 두 명을 고르고($15$가지) 나머지 네 명을 교란시키는($9$가지) 방식으로 만들어지며, 이 두 선택은 서로 독립이므로 곱한다.
- 그러면 정확히 두 학생이 월요일 튜터로 돌아온 짝짓기가 $15 \cdot 9 = 135$가지가 된다.
💡 두 단계로 만드는 셈은 각 단계 수를 곱한다. 첫 선택 하나하나가 두 번째 선택 전부와 짝을 이루기 때문이다.
7.NS.A.2 단계 6 나누고 약분하기
- 확률은 유리한 경우를 전체로 나눈 것이다: $\tfrac{135}{720}$.
- 둘 다 $45$를 공약수로 가지며, $135 = 45\cdot 3$, $720 = 45\cdot 16$이므로 분수는 $\tfrac{3}{16}$로 약분된다.
- 이것은 선택지 (B)와 일치한다.
💡 확률은 유리한 경우를 전체 경우로 나눈 뒤 기약분수로 약분한 것일 뿐이다.
7.SP.C.7 월요일의 짝을 기준 그림으로 고정한다. 화요일은 같은 여섯 학생을 같은 여섯 튜터에게 한 명씩 다시 나눠 주므로, 월요일과 비교하면 화요일은 학 7.SP.C.8 가능한 모든 화요일 짝짓기를 센다. 첫 번째 튜터는 $6$명 중 아무나, 다음 튜터는 남은 $5$명 중 하나, 그다음은 $4$, $3$, $2$ 7.SP.C.8 정확히 두 학생이 월요일 튜터를 유지하려면 먼저 그 두 명이 누구인지 고른다. $6$명 중 순서 상관없이 $2$명을 고르는 것은 $\binom{ 7.SP.C.8 남은 $4$명은 각자 월요일과 다른 튜터로 가야 한다. 그렇지 않으면 두 명보다 많은 수가 남게 된다. $4$개를 섞을 때 아무도 제자리에 남지 4.OA.A.3 유리한 화요일은 먼저 남는 두 명을 고르고($15$가지) 나머지 네 명을 교란시키는($9$가지) 방식으로 만들어지며, 이 두 선택은 서로 독립이 7.NS.A.2 확률은 유리한 경우를 전체로 나눈 것이다: $\tfrac{135}{720}$. 둘 다 $45$를 공약수로 가지며, $135 = 45\cdot 3 검토
합리성 확인: 유리한 경우의 수 $135$는 전체 $720$보다 작으므로 확률은 $1$보다 작다 — 상식 검사 통과. 또한 정확히 두 명만 돌아오는(더도 덜도 아닌) 것은 꽤 특별한 사건이므로 확률이 작아야 하는데, $\tfrac{3}{16}\approx 0.19$가 이에 잘 맞는다. 교차 확인: 여섯 개를 섞을 때 고정점 개수별 경우의 수 $\binom{6}{k}D_{6-k}$는 $k=0,1,2,3,4,5,6$에 대해 $265,264,135,40,15,0,1$이고, 이들의 합은 정확히 $720$이다 — 그리고 $k=2$ 항이 우리가 구한 $135$다. 이는 개수와 겹셈이 없음을 함께 확인해 주므로 $\tfrac{3}{16}$가 옳다.
대안 접근: 남는 학생을 먼저 고르는 대신 학생 하나하나로 확률을 쌓아 갈 수도 있다. 특정한 두 학생이 돌아오고 나머지 네 명이 모두 옮겨 갈 확률을 조건부 분수로 계산한 뒤 그 쌍을 고르는 $\binom{6}{2}$가지를 곱하면 같은 $\tfrac{15\cdot 9}{720}=\tfrac{3}{16}$가 나온다. 여기서 보인 세기 방법은 마지막 나눗셈 전까지 정수로만 다루므로 복잡한 분수 계산을 피할 수 있어 더 깔끔하다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.7Develop probability models and use them to find probabilities of events (무작위인 두 날을 한 번의 무작위 섞기로 바꾸고, 확률을 유리한 짝짓기 대 전체 짝짓기로 세우는 데 사용.)7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (전체 $6!=720$가지 짝짓기, 남는 두 명을 고르는 $\binom{6}{2}=15$가지, 나머지 네 명의 교란순열 $9$가지를 세는 데 사용.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (단계별 개수 $15\cdot 9$를 곱해 유리한 경우 $135$을 얻는 데 사용.)7.NS.A.2Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers ($135$을 $720$으로 나누고 분수를 $\tfrac{3}{16}$로 약분하는 데 사용.)
⭐ 첫날을 고정하고 둘째 날을 섞기로 보면 된다: 남을 학생 $2$명을 고르고($15$가지), 나머지 $4$명은 모두 옮기게 한 뒤($9$가지), $15\cdot 9=135$를 $720$으로 나누면 $\tfrac{3}{16}$이다.
⭐ 첫날을 고정하고 둘째 날을 섞기로 보면 된다: 남을 학생 $2$명을 고르고($15$가지), 나머지 $4$명은 모두 옮기게 한 뒤($9$가지), $15\cdot 9=135$를 $720$으로 나누면 $\tfrac{3}{16}$이다.
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