AMC 10 · 2025 · #17

학년 6 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

sequences-arithmeticmean-median-mode-rangelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다음 조건을 만족하는, $n$ 개의 양의 정수로 이루어진 감소하는 수열
$x_1 > x_2 > \cdots > x_n$
을 생각하자.

수열의 처음 $3$ 개 항의 평균은 $2025$ 이다.
$4 \le k \le n$ 인 모든 $k$ 에 대하여, 처음 $k$ 개 항의 평균은 처음 $k-1$ 개 항의 평균보다 $1$ 만큼 작다.

$n$ 의 최댓값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~1013

(B)

~1014

(C)

~1016

(D)

~2016

(E)

~2025

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수로 이루어진 순감소 수열 x_1 > x_2 > ... > x_n 이 있습니다. 처음 3개 항의 평균은 2025입니다. 4번째 항부터는 다음 항을 더할 때마다 전체 평균이 정확히 1씩 줄어듭니다. 이런 수열 중 가장 긴 것, 즉 가장 큰 n을 구합니다.

주어진 것: 수열은 순감소한다: x_1 > x_2 > ... > x_n.; 모든 항은 양의 정수이다.; x_1, x_2, x_3 의 평균은 2025이다.; 4부터 n까지의 각 k에 대해, 처음 k개 항의 평균은 처음 k-1개 항의 평균보다 1만큼 작다.

구하는 것: 가능한 가장 큰 항의 개수 n.

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #5 패턴 찾기, #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

가장 큰 n을 묻고 있으므로 답은 경계에 있습니다. 즉 항이 여전히 양수인 마지막 자리입니다. 이것이 극단의 원리입니다. 그 경계를 찾기 위해 먼저 각 평균을 합으로 바꾸고, 모든 항이 2씩 줄어드는 패턴을 찾은 뒤, 항이 음수가 되기 직전까지 n을 밀어붙입니다.

실행 — 정답: B

#13 대수로 바꾸기 6.SP.B.5 단계 1

평균을 합으로 바꾸기

평균은 합을 개수로 나눈 것이므로, 합 = 평균 곱하기 개수입니다.
처음 3개 항의 평균이 2025이므로, 그 합은 S_3 = 3 * 2025 = 6075 입니다.

$$S_3 = 3 \times 2025 = 6075$$

💡 평균은 전체를 똑같이 나눠 준 값이므로, 평균에 개수를 곱하면 전체 합이 다시 나온다.

#5 패턴 찾기 6.SP.A.3 단계 2

k개 항의 합 쓰기

처음 3개 항의 평균은 2025이고, 이후의 평균은 매번 1씩 작아집니다.
따라서 처음 k개 항의 평균은 2025에서 (k - 3)을 뺀 값, 즉 2028 - k 입니다.
여기에 k를 곱하면 처음 k개 항의 합 S_k = k(2028 - k) 를 얻습니다.

\text{처음 } k \text{개 평균} = 2028 - k, \qquad S_k = k(2028 - k)

💡 매 단계 평균이 정확히 1씩 내려가므로, 평균은 2025에서 곧게 내려가는 직선 값이다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 3

한 항만 뽑아내기

어떤 한 항은 합의 변화량입니다: x_k = S_k - S_{k-1}.
k(2028 - k) 에서 (k-1)(2029 - k) 를 빼고 정리하면 x_k = 2029 - 2k 가 됩니다.
확인해 보면 x_4 = 2029 - 8 = 2021, x_5 = 2029 - 10 = 2019 이므로, 새 항은 앞 항보다 2씩 작아집니다.
그래서 수열은 계속 순감소합니다.

$$x_k = S_k - S_{k-1} = k(2028-k) - (k-1)(2029-k) = 2029 - 2k$$

💡 두 누적합의 차이는 바로 새로 더한 그 항이므로, 합끼리 빼면 그 항이 드러난다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.5 단계 4

경계까지 밀어붙이기

모든 항은 양의 정수여야 하므로 x_n > 0 이 필요합니다.
x_n = 2029 - 2n 을 써서 2029 - 2n > 0 을 풀면 n < 1014.5 입니다.
이를 만족하는 가장 큰 정수는 n = 1014 이고, 이때 x_1014 = 2029 - 2028 = 1 로 여전히 양수입니다.
한 걸음 더 가면 x_1015 = 2029 - 2030 = -1 로 허용되지 않습니다.

$$2029 - 2n > 0 \;\Rightarrow\; n < 1014.5 \;\Rightarrow\; n \le 1014$$

💡 줄어드는 항이 0보다 큰 동안만 수열을 늘릴 수 있으니, 마지막 양수 항이 딱 멈추는 지점이다.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.B.5 단계 5

수열이 실제로 되는지 확인

아직 평균이 2025(합 6075)이고, x_4 = 2021 보다 크며, 수열을 감소시키는 처음 3개 항이 필요합니다.
2027, 2025, 2023 을 고르면 됩니다: 합이 6075이고, 각각 2021보다 크며, 2023 > 2021 로 감소가 이어집니다.
그러므로 길이 1014인 올바른 수열이 실제로 존재하고, 가능한 가장 큰 n의 값은 1014, 즉 답은 (B) 입니다.

$$2027 + 2025 + 2023 = 6075, \quad 2023 > 2021 = x_4$$

💡 경계 답은 그 값에 실제로 도달하는 예를 하나 만들 수 있어야 인정된다.

[1] #13 6.SP.B.5 평균은 합을 개수로 나눈 것이므로, 합 = 평균 곱하기 개수입니다. 처음 3개 항의 평균이 2025이므로, 그 합은 S_3 = 3 * 2025

[2] #5 6.SP.A.3 처음 3개 항의 평균은 2025이고, 이후의 평균은 매번 1씩 작아집니다. 따라서 처음 k개 항의 평균은 2025에서 (k - 3)을 뺀 값,

[3] #13 6.EE.A.3 어떤 한 항은 합의 변화량입니다: x_k = S_k - S_{k-1}. k(2028 - k) 에서 (k-1)(2029 - k) 를 빼고 정리하면

[4] #14 6.EE.B.5 모든 항은 양의 정수여야 하므로 x_n > 0 이 필요합니다. x_n = 2029 - 2n 을 써서 2029 - 2n > 0 을 풀면 n < 1

[5] #6 6.SP.B.5 아직 평균이 2025(합 6075)이고, x_4 = 2021 보다 크며, 수열을 감소시키는 처음 3개 항이 필요합니다. 2027, 2025, 2

검토

합리성 확인: 항들은 x_k = 2029 - 2k 를 따르며 2021, 2019, 2017, ... 로 2씩 내려가는 등차수열입니다. k = 1014 에서 정확히 1이 되고 k = 1015 에서 음수가 되므로 1014가 자연스러운 마지막 지점입니다. 훨씬 큰 선택지인 2016이나 2025는 항이 매번 2씩 줄어든다는 점을 무시한 값입니다. 2씩 줄면 갈 수 있는 거리가 대략 절반이 되므로, 2028/2 근처인 1014가 타당한 크기입니다.

대안 접근: 항 공식 대신, 누적합 S_k = k(2028 - k) = 2028k - k^2 가 k = 1014 에서 꼭짓점을 갖는 아래로 볼록한 포물선임을 보면 됩니다. 더해지는 항이 양수이기를 멈추는 바로 그 지점에서 합도 커지기를 멈추므로, 같은 n = 1014 를 가리킵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures (평균을 합으로 바꾸기(합 = 평균 곱하기 개수)를 처음 3개 항과 처음 k개 항에 적용.)
6.SP.A.3 Recognize that a measure of center summarizes all its values with a single number (줄어드는 평균을 직선 값으로 읽어 처음 k개 항의 평균을 2028 - k 로 쓰기.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (S_k - S_{k-1} 을 깔끔한 항 공식 x_k = 2029 - 2k 로 정리.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (2029 - 2n > 0 을 풀어 모든 항을 양수로 유지하는 가장 큰 n 찾기.)

⭐ 각 평균을 합으로 바꾸고, 항이 매번 2씩 줄어드는 것을 지켜보다가, 항이 1보다 작아지려는 순간 세기를 멈추면 된다.