AMC 10 · 2025 · #17
학년 6 algebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
가장 큰 n을 묻고 있으므로 답은 경계에 있습니다. 즉 항이 여전히 양수인 마지막 자리입니다. 이것이 극단의 원리입니다. 그 경계를 찾기 위해 먼저 각 평균을 합으로 바꾸고, 모든 항이 2씩 줄어드는 패턴을 찾은 뒤, 항이 음수가 되기 직전까지 n을 밀어붙입니다.
평균을 합으로 바꾸기
합 = 평균 × 개수이므로 처음 3개 항의 합은 S₃ = 3 × 2025 = 6075 입니다.
평균은 전체를 똑같이 나눠 준 값이므로, 평균에 개수를 곱하면 전체 합이 다시 나온다.
6.SP.B.5Convert To Algebrak개 항의 합 쓰기
이후 평균이 2025에서 1씩 작아지므로, 처음 k개의 평균은 2028 - k, 합은 k(2028 - k) 입니다.
매 단계 평균이 정확히 1씩 내려가므로, 평균은 2025에서 곧게 내려가는 직선 값이다.
6.SP.A.3Look For A Pattern한 항만 뽑아내기
한 항은 합의 변화량이므로 S_k 에서 S_(k-1)을 빼면 x_k = 2029 - 2k, 항은 2씩 작아집니다.
두 누적합의 차이는 바로 새로 더한 그 항이므로, 합끼리 빼면 그 항이 드러난다.
두 누적 합의 차가 바로 새로 더한 수다.
▸ 왜?
두 총합이 앞의 같은 항들을 지니므로, 서로 빼면 새 항 말고는 모두 사라진다.
▸ 왜?
각 총합은 평균에 개수를 곱한 것이므로, 두 총합을 정확히 적을 수 있다.
경계까지 밀어붙이기
항이 양수이려면 2029 - 2n ＞ 0, 즉 n ＜ 1014.5 이므로 n = 1014, 마지막 항은 1입니다.
줄어드는 항이 0보다 큰 동안만 수열을 늘릴 수 있으니, 마지막 양수 항이 딱 멈추는 지점이다.
6.EE.B.5Extreme Principle수열이 실제로 되는지 확인
첫 3항을 2027, 2025, 2023으로 잡으면 합이 6075이고 x₄ = 2021보다 크므로, 길이 1014인 수열이 실제로 존재합니다.
경계 답은 그 값에 실제로 도달하는 예를 하나 만들 수 있어야 인정된다.
6.SP.B.5Guess And Check각 평균을 합으로 바꾸고, 항이 매번 2씩 줄어드는 것을 지켜보다가, 항이 1보다 작아지려는 순간 세기를 멈추면 된다.
- 평균을 합으로 바꾸기
- k개 항의 합 쓰기
- 한 항만 뽑아내기
- 경계까지 밀어붙이기
- 수열이 실제로 되는지 확인