AMC 10 · 2025 · #18

학년 8 number-theory

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Digitwise Additive Reduction

floor-functionperfect-squaresunits-digit-tracking pattern-recognition ↑ 선수 지식: perfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1부터 2025까지의 모든 자연수

k

에 대해

\lfloor\sqrt{k}\rfloor

를 모두 더한다. 여기서

\lfloor x\rfloor

는

x

이하의 가장 큰 정수다. 이 합의 일의 자리 숫자만 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

2025개의 내림 제곱근을 하나씩 더하는 것은 불가능하지만, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 패턴 두 개를 드러낸다. 각 값 n은 2n+1번 반복되고, 일의 자리만 필요하므로 항들의 일의 자리는 10마다 순환한다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 실제 크기를 버리고 일의 자리만 남기게(즉 10으로 나눈 나머지로 계산하게) 해 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 '각 값이 몇 번 나오는가'와 '각 묶음의 일의 자리'로 문제를 나누고, 마지막 단독 항 45를 따로 떼어낸다.

1STEP 1

각 값이 몇 번 나오는지 세기

$k$ 가 $n^2$ 부터 $(n+1)^2-1$ 까지면 $\lfloor\sqrt{k}\rfloor=n$ 이므로, 각 값 $n$ 은 $2n+1$ 번씩 반복된다.

⌊√(k)⌋=n for n² ≤ k ≤ (n+1)²-1, #=2n+1

2STEP 2

합을 묶음 형태로 쓰기

$n=1$ 부터 $44$ 까지의 묶음이 $k=1$ 부터 $2024$ 까지를 덮고, 마지막 항 $k=2025=45^2$ 이 $45$ 하나를 더한다.

S=Σ_n=1⁴⁴ n(2n+1) + 45

3STEP 3

일의 자리만 남기기

각 묶음 $n(2n+1)$ 의 일의 자리만 남기면, $n=1$ 부터 $10$ 까지 3,0,1,6,5,8,5,6,1,0이 된다.

n(2n+1) ones digits, n=1..10: 3,0,1,6,5,8,5,6,1,0

4STEP 4

10항 주기 이용하기

이 목록은 $n$ 의 끝자리로만 정해져 10항마다 반복된다. 한 주기의 합은 $35$ , $n=40$ 까지 네 주기는 $0$ 을 남긴다.

3+0+1+6+5+8+5+6+1+0=35≡5 (mod 10), 4·5=20≡0

5STEP 5

남은 항을 더해 마무리

남은 $n=41$ 부터 $44$ 는 $3+0+1+6=10$ , 여기에 단독 항 $45$ 를 더하면 일의 자리는 5, 보기 (D)다.

0+(3+0+1+6)+45≡0+0+5≡5 (mod 10) → (D)

정답

10으로 나눈 나머지로 조각을 추적하면, 네 완전 주기는 0, 부분 주기 n=41..44는 3+0+1+6=10≡0, 추가된 45는 5이므로 0+0+5=5다. 합 공식을 쓴 정확한 계산과도 일치한다. Σ_n=1⁴⁴n(2n+1)=2·(44·45·89)/6+(44·45)/2=58740+990=59730, 여기에 45를 더하면 59775로 끝자리가 5다. 두 방법 모두 5로 일치하여 다른 보기를 모두 배제한다.

💡핵심 정리

일의 자리만 필요할 때는 각 조각의 끝자리만 남기고, 수천 개를 더하는 대신 반복되는 주기를 찾아라.

각 값이 몇 번 나오는지 세기
합을 묶음 형태로 쓰기
일의 자리만 남기기
10항 주기 이용하기
남은 항을 더해 마무리

각 값이 몇 번 나오는지 세기

합을 묶음 형태로 쓰기

일의 자리만 남기기

10항 주기 이용하기

남은 항을 더해 마무리

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