AMC 10 · 2025 · #18

학년 8 number-theory

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Digitwise Additive Reduction

floor-functionperfect-squaresunits-digit-tracking pattern-recognition ↑ 선수 지식: perfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다음 합의 일의 자리 숫자는 무엇인가?
$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \dots + \lfloor \sqrt{2025} \rfloor?$ (단, $\lfloor x \rfloor$ 는 $x$ 보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 정수를 나타낸다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$부터 $2025$까지의 모든 자연수 $k$에 대해 $\lfloor\sqrt{k}\rfloor$를 더한다. 여기서 $\lfloor x\rfloor$는 $x$ 이하의 가장 큰 정수다. 이 합의 일의 자리 숫자만 구한다.

주어진 것: 합 $\lfloor\sqrt{1}\rfloor+\lfloor\sqrt{2}\rfloor+\lfloor\sqrt{3}\rfloor+\dots+\lfloor\sqrt{2025}\rfloor$; $\lfloor x\rfloor$는 가장 가까운 정수로 내림한다는 뜻; $2025=45^2$이므로 마지막 항은 $\lfloor\sqrt{2025}\rfloor=45$; 보기: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $5$, (E) $8$

구하는 것: 합 전체의 일의 자리(단위) 숫자

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

2025개의 내림 제곱근을 하나씩 더하는 것은 불가능하지만, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 패턴 두 개를 드러낸다. 각 값 $n$은 $2n+1$번 반복되고, 일의 자리만 필요하므로 항들의 일의 자리는 $10$마다 순환한다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 실제 크기를 버리고 일의 자리만 남기게(즉 $10$으로 나눈 나머지로 계산하게) 해 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 '각 값이 몇 번 나오는가'와 '각 묶음의 일의 자리'로 문제를 나누고, 마지막 단독 항 $45$를 따로 떼어낸다.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 8.EE.A.2 단계 1

각 값이 몇 번 나오는지 세기

$\lfloor\sqrt{k}\rfloor$는 $k$가 $n^2$부터 $(n+1)^2-1$까지일 때 $n$과 같다.
그런 $k$의 개수는 $(n+1)^2-n^2=2n+1$이다.
그래서 $1$은 $3$번($k=1,2,3$), $2$는 $5$번($k=4..8$), $3$은 $7$번 나오고, 일반적으로 $n$은 $2n+1$번 나온다.

$$\lfloor\sqrt{k}\rfloor=n\ \text{for}\ n^2\le k\le(n+1)^2-1,\quad\#=2n+1$$

💡 이웃한 완전제곱수는 $2n+1$만큼 떨어져 있어서 각 내림 값이 딱 그만큼 평평하게 유지된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.C.5 단계 2

합을 묶음 형태로 쓰기

같은 값끼리 묶으면 $n=1$부터 $44$까지의 묶음이 $k=1$부터 $45^2-1=2024$까지를 덮는다.
마지막 항 $k=2025=45^2$은 $45$ 하나를 준다.
따라서 전체 합은 $1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\dots+44\cdot89+45$이다.

$$S=\sum_{n=1}^{44} n(2n+1)\;+\;45$$

💡 마지막 단독 $45$만 빼면 모든 값이 $2n+1$개짜리 완전한 묶음으로 나온다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 3

일의 자리만 남기기

일의 자리를 묻고 있으므로 각 묶음 합 $n(2n+1)$을 그 일의 자리로만 바꾼다.
$n=1$부터 $10$까지 $n(2n+1)$을 계산해 끝자리만 남기면 $3,0,1,6,5,8,5,6,1,0$이 된다.
예를 들어 $5\cdot11=55$는 끝이 $5$, $6\cdot13=78$은 끝이 $8$이다.

$$n(2n+1)\ \text{ones digits},\ n=1..10:\ 3,0,1,6,5,8,5,6,1,0$$

💡 곱의 일의 자리는 두 인수의 일의 자리에만 달려 있다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

10항 주기 이용하기

$n(2n+1)$의 일의 자리는 $n$의 일의 자리에만 달려 있으므로, 일의 자리 목록은 $10$항마다 반복된다.
한 주기의 합은 $3+0+1+6+5+8+5+6+1+0=35$이고 그 일의 자리는 $5$다.
$n=1$부터 $40$까지는 완전한 네 주기이므로 $4\cdot5=20$, 일의 자리는 $0$이다.

$$3+0+1+6+5+8+5+6+1+0=35\equiv5\pmod{10},\quad 4\cdot5=20\equiv0$$

💡 일의 자리가 반복되면 항마다 세는 대신 통째로 주기 단위로 셀 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 5

남은 항을 더해 마무리

남은 것은 $n=41,42,43,44$인데, 이들의 일의 자리는 $n=1,2,3,4$와 같아 $3+0+1+6=10$, 일의 자리는 $0$이다.
여기에 마지막 단독 항 $45$의 일의 자리 $5$를 더한다.
전체 일의 자리 $=0+0+5=5$.
따라서 합 전체의 일의 자리는 $5$, 보기 (D)다.
(정확히 계산하면 $S=59775$로 끝자리가 $5$임을 확인할 수 있다.)

$$0+(3+0+1+6)+45\equiv0+0+5\equiv5\pmod{10}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 합의 일의 자리는 각 항의 일의 자리를 더한 것의 일의 자리와 같다.

[1] #5 8.EE.A.2 $\lfloor\sqrt{k}\rfloor$는 $k$가 $n^2$부터 $(n+1)^2-1$까지일 때 $n$과 같다. 그런 $k$의 개수는 $(n

[2] #7 4.OA.C.5 같은 값끼리 묶으면 $n=1$부터 $44$까지의 묶음이 $k=1$부터 $45^2-1=2024$까지를 덮는다. 마지막 항 $k=2025=45^2$

[3] #9 4.NBT.B.5 일의 자리를 묻고 있으므로 각 묶음 합 $n(2n+1)$을 그 일의 자리로만 바꾼다. $n=1$부터 $10$까지 $n(2n+1)$을 계산해 끝자

[4] #5 4.OA.C.5 $n(2n+1)$의 일의 자리는 $n$의 일의 자리에만 달려 있으므로, 일의 자리 목록은 $10$항마다 반복된다. 한 주기의 합은 $3+0+1+

[5] #7 4.NBT.B.4 남은 것은 $n=41,42,43,44$인데, 이들의 일의 자리는 $n=1,2,3,4$와 같아 $3+0+1+6=10$, 일의 자리는 $0$이다.

검토

합리성 확인: $10$으로 나눈 나머지로 조각을 추적하면, 네 완전 주기는 $0$, 부분 주기 $n=41..44$는 $3+0+1+6=10\equiv0$, 추가된 $45$는 $5$이므로 $0+0+5=5$다. 합 공식을 쓴 정확한 계산과도 일치한다. $\sum_{n=1}^{44}n(2n+1)=2\cdot\frac{44\cdot45\cdot89}{6}+\frac{44\cdot45}{2}=58740+990=59730$, 여기에 $45$를 더하면 $59775$로 끝자리가 $5$다. 두 방법 모두 $5$로 일치하여 다른 보기를 모두 배제한다.

대안 접근: 닫힌 형태로 바로 계산할 수도 있다. $\sum_{n=1}^{44} n(2n+1)+45 = 2\sum n^2+\sum n+45$. $\sum_{1}^{44} n^2=\tfrac{44\cdot45\cdot89}{6}=29370$과 $\sum_{1}^{44} n=990$을 쓰면 $2(29370)+990+45=59775$이고 일의 자리는 $5$다. 주기 논증은 건너뛰지만 합 공식 두 개가 필요하다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($\lfloor\sqrt{k}\rfloor$를 읽고, 완전제곱수 $n^2$과 $(n+1)^2$ 사이에서 $\lfloor\sqrt{k}\rfloor=n$임을 아는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (값 $n$이 $2n+1$번 반복되고 항들의 일의 자리가 $10$마다 순환함을 찾는 데 사용.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (각 곱 $n(2n+1)$을 계산하고 그 일의 자리를 읽는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (묶음의 일의 자리와 남은 항들을 더해 최종 일의 자리를 얻는 데 사용.)

⭐ 일의 자리만 필요할 때는 각 조각의 끝자리만 남기고, 수천 개를 더하는 대신 반복되는 주기를 찾아라.