AMC 10 · 2025 · #21
학년 8 counting3×3 격자에 있는 9개의 정사각형 칸을 각각 빨강, 파랑, 노랑 중 하나로 칠하려고 한다. 이때 모든 빨강 칸은 적어도 하나의 파랑 칸과 변을 공유하고, 모든 파랑 칸은 적어도 하나의 노랑 칸과 변을 공유하며, 모든 노랑 칸은 적어도 하나의 빨강 칸과 변을 공유해야 한다. 회전이나 대칭(뒤집기)으로 서로 겹쳐지는 색칠은 같은 것으로 본다. 가능한 서로 다른 색칠은 모두 몇 가지인가?
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $3\times 3$ 격자의 $9$개 칸을 빨강, 파랑, 노랑으로 칠하되, 빨강 칸은 반드시 파랑 칸과 변을 맞대고, 파랑 칸은 노랑 칸과, 노랑 칸은 빨강 칸과 변을 맞대도록 한다. 회전이나 반사로 서로 겹쳐지는 색칠은 같은 것으로 본다. 서로 다른 색칠은 몇 가지인가?
주어진 것: $3\times 3$ 격자의 각 칸을 빨강, 파랑, 노랑 세 색 중 하나로 칠한다; 모든 빨강 칸은 적어도 하나의 파랑 칸과 변을 맞대야 한다; 모든 파랑 칸은 적어도 하나의 노랑 칸과 변을 맞대야 한다; 모든 노랑 칸은 적어도 하나의 빨강 칸과 변을 맞대야 한다; 정사각형의 회전이나 반사로 겹쳐지는 색칠은 하나로 센다; 선택지: (A) $3$, (B) $9$, (C) $12$, (D) $18$, (E) $27$
구하는 것: 회전과 반사를 같은 것으로 볼 때 서로 다른 색칠의 개수
이해
문제 재정리: $3\times 3$ 격자의 $9$개 칸을 빨강, 파랑, 노랑으로 칠하되, 빨강 칸은 반드시 파랑 칸과 변을 맞대고, 파랑 칸은 노랑 칸과, 노랑 칸은 빨강 칸과 변을 맞대도록 한다. 회전이나 반사로 서로 겹쳐지는 색칠은 같은 것으로 본다. 서로 다른 색칠은 몇 가지인가?
주어진 것: $3\times 3$ 격자의 각 칸을 빨강, 파랑, 노랑 세 색 중 하나로 칠한다; 모든 빨강 칸은 적어도 하나의 파랑 칸과 변을 맞대야 한다; 모든 파랑 칸은 적어도 하나의 노랑 칸과 변을 맞대야 한다; 모든 노랑 칸은 적어도 하나의 빨강 칸과 변을 맞대야 한다; 정사각형의 회전이나 반사로 겹쳐지는 색칠은 하나로 센다; 선택지: (A) $3$, (B) $9$, (C) $12$, (D) $18$, (E) $27$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기
"색칠이 몇 가지인가"를 세는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 중심이다. 격자가 거의 정해지고 나면 남은 칸을 채우는 방법을 빠짐없이 적으면 된다. 하지만 $3^9$가지를 모두 나열하는 것은 무리이므로, 두 가지 아이디어로 먼저 경우를 줄인다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 대칭을 두 번 활용한다. 회전과 반사로 같은 색칠을 하나로 묶고, 색을 고리 방향 빨강$\to$파랑$\to$노랑$\to$빨강으로 바꾸는 것 자체도 허용되므로, 가운데 칸을 빨강으로 고정하고 마지막에 $3$을 곱할 수 있다. 도구 #1(그림 그리기)로 격자를 눈앞에 두어 각 규칙을 보이게 하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 대부분의 칸을 강제한다. 가운데와 한 이웃이 정해지면 고리 규칙 때문에 칸마다 칠할 수 있는 색이 하나로 좁혀진다.
실행 — 정답: C
6.EE.B.5 단계 1 규칙을 색의 고리로 읽기
- $3\times 3$ 격자를 그리고 세 규칙을 하나의 고리로 다시 쓴다.
- 빨강은 파랑과, 파랑은 노랑과, 노랑은 빨강과 닿아야 한다.
- 즉 각 색은 고리 빨강$\to$파랑$\to$노랑$\to$빨강에서 "다음 색"을 가리킨다.
- 모든 칸은 어떤 색이든 그 다음 색을 가진 이웃을 변으로 맞대고 있어야 한다.
💡 세 규칙을 하나의 반복되는 고리로 바꾸면 화살표 하나만 기억하면 된다.
8.G.A.2 단계 2 대칭으로 가운데를 빨강으로 고정
- 두 종류의 대칭이 일을 줄인다.
- 첫째, 회전과 반사로 겹쳐지는 색칠은 하나로 센다.
- 둘째, 모든 색을 고리 방향으로 한 칸씩 바꾸면(빨강은 파랑으로, 파랑은 노랑으로, 노랑은 빨강으로) 규칙의 고리가 그대로이므로 올바른 색칠이 다시 올바른 색칠이 된다.
- 이 바꾸기는 가운데 칸의 색도 바꾸므로, 올바른 색칠은 가운데 색에 따라 세 개의 똑같은 크기 무리로 나뉜다.
- 가운데가 빨강인 경우를 세고 $3$을 곱하면 된다.
💡 색을 바꿔도 모든 규칙이 유지되므로 가운데가 빨강일 확률은 정확히 삼분의 일이다.
8.G.A.1 단계 3 강제되는 첫 이웃 놓기
- 가운데를 빨강으로 고정한다.
- 이 빨강은 파랑 이웃이 있어야 하는데, 주변 네 변의 칸은 회전으로 서로 바꿀 수 있으므로 그 파랑을 왼쪽 가운데 변에 놓는다.
- 이 파랑은 노랑 이웃이 있어야 하고, 남은 이웃은 왼쪽 두 모서리인데 가운데 행을 축으로 한 반사가 이 둘을 맞바꾸므로 노랑을 왼쪽 위 모서리에 놓는다.
- 이렇게 대칭을 써서 두 자리를 정해도 잃는 것이 없고, 시작 모서리가 고정된다.
💡 회전과 반사를 지금 다 써버리면 모서리가 고정되어, 이후의 선택이 중복이 아닌 진짜 선택이 된다.
6.EE.B.5 단계 4 고리를 따라 윗부분 채우기
- 이제 고리가 칸을 차례로 강제한다.
- 왼쪽 위 노랑은 빨강 이웃이 필요하고 남은 이웃은 위 가운데뿐이므로 그 칸이 빨강이다.
- 이 빨강은 파랑 이웃이 필요하고 남은 이웃은 오른쪽 위 모서리뿐이므로 그 칸이 파랑이다.
- 이 파랑은 노랑 이웃이 필요하고 남은 이웃은 오른쪽 가운데 변뿐이므로 그 칸이 노랑이다.
- 위 두 행이 완전히 정해졌고, 이 여섯 칸의 규칙은 모두 이미 만족된다.
💡 이웃의 색을 알면 고리가 남기는 색은 하나뿐이라, 칸이 도미노처럼 차례로 정해진다.
7.SP.C.8 단계 5 올바른 아랫줄 모두 나열하기
- 이제 아래 세 칸만 남았다.
- 각 칸은 이미 아는 이웃을 이용해 자기 규칙을 지켜야 한다.
- 왼쪽 아래는 왼쪽 파랑을, 가운데 아래는 가운데 빨강을, 오른쪽 아래는 오른쪽 노랑을 보고, 세 칸은 서로도 변을 맞댄다.
- 고리 규칙으로 모든 조합을 확인하면 올바른 아랫줄은 정확히 네 가지다: $(\text{R},\text{R},\text{B})$, $(\text{Y},\text{R},\text{B})$, $(\text{R},\text{Y},\text{B})$, $(\text{B},\text{Y},\text{B})$.
💡 위가 다 고정되면 문제 전체가 세 칸만 채우면 되는 나열 문제로 줄어든다.
8.G.A.2 단계 6 가운데 세 색으로 곱하기
- 가운데가 빨강인 올바른 색칠은 $4$가지다.
- 앞에서 본 색 고리 대칭에 의해 가운데가 파랑인 경우와 노랑인 경우도 각각 $4$가지이고, 가운데 색이 서로 다르므로 세 무리는 겹치지 않는다.
- 따라서 전체는 $4\times 3 = 12$가지다.
- 답은 $(\text{C})\ 12$이다.
💡 빨강 가운데 그림 네 개는 각각 파랑 짝과 노랑 짝을 가지므로 개수가 세 배가 된다.
6.EE.B.5 $3\times 3$ 격자를 그리고 세 규칙을 하나의 고리로 다시 쓴다. 빨강은 파랑과, 파랑은 노랑과, 노랑은 빨강과 닿아야 한다. 즉 각 색 8.G.A.2 두 종류의 대칭이 일을 줄인다. 첫째, 회전과 반사로 겹쳐지는 색칠은 하나로 센다. 둘째, 모든 색을 고리 방향으로 한 칸씩 바꾸면(빨강은 파랑 8.G.A.1 가운데를 빨강으로 고정한다. 이 빨강은 파랑 이웃이 있어야 하는데, 주변 네 변의 칸은 회전으로 서로 바꿀 수 있으므로 그 파랑을 왼쪽 가운데 6.EE.B.5 이제 고리가 칸을 차례로 강제한다. 왼쪽 위 노랑은 빨강 이웃이 필요하고 남은 이웃은 위 가운데뿐이므로 그 칸이 빨강이다. 이 빨강은 파랑 이웃 7.SP.C.8 이제 아래 세 칸만 남았다. 각 칸은 이미 아는 이웃을 이용해 자기 규칙을 지켜야 한다. 왼쪽 아래는 왼쪽 파랑을, 가운데 아래는 가운데 빨강을 8.G.A.2 가운데가 빨강인 올바른 색칠은 $4$가지다. 앞에서 본 색 고리 대칭에 의해 가운데가 파랑인 경우와 노랑인 경우도 각각 $4$가지이고, 가운데 검토
합리성 확인: 가운데가 빨강인 네 격자는 모두 올바르고 서로 회전이나 반사로 겹치지 않으므로 진짜로 다른 색칠이며, 가운데 세 색으로 곱하면 $12$가 되어 (C)와 맞는다. $3^9$가지 색칠을 모두 확인하면 올바른 것이 $84$가지이고, 정사각형의 $8$개 대칭으로 묶으면 $12$개 무리로 줄어들어 이 개수를 확인해 준다. 오답도 설명된다. (E) $27$은 대칭을 무시한 값이고, (A) $3$이나 (B) $9$는 네 가지 아랫줄을 덜 센 결과다.
대안 접근: 색 고리 지름길을 쓰지 않고, 가운데를 세 색 각각으로 고정한 뒤 같은 강제 연쇄와 아랫줄 나열을 세 번 따로 한다. 각 가운데 색마다 $4$가지가 나오므로 $4+4+4=12$이다. 일은 더 많지만 색 바꾸기 논증을 피할 수 있고, 같은 (C)에 이른다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.A.1Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations (정사각형의 회전과 반사를 이용해 파랑 이웃을 왼쪽 변에, 노랑을 왼쪽 위 모서리에 일반성을 잃지 않고 고정하기.)8.G.A.2Understand that a two-dimensional figure is congruent to another using transformations (대칭으로 겹치는 색칠을 같은 것으로 보고, 색 바꾸기 대칭으로 색칠을 가운데 색에 따라 똑같은 세 무리로 나눠 3을 곱하기.)6.EE.B.5Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (각 이웃 규칙을 칸이 만족해야 하는 조건으로 읽고, 그 조건을 유지하는 유일한 색을 이끌어내기.)7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (남은 아래 세 칸의 모든 색칠을 빠짐없이 나열하고 규칙을 지키는 네 가지만 남기기.)
⭐ 규칙이 강제하는 칸을 먼저 다 정하고, 도형의 대칭으로 같은 그림을 두 번 세지 않게 한 다음, 남은 몇 가지만 빠짐없이 나열하라.
⭐ 규칙이 강제하는 칸을 먼저 다 정하고, 도형의 대칭으로 같은 그림을 두 번 세지 않게 한 다음, 남은 몇 가지만 빠짐없이 나열하라.
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