AMC 10 · 2025 · #3

학년 4 algebra

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionsequences-geometricdigit-sum easier-related-problem ↑ 선수 지식: pattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

파스칼의 삼각형과 비슷한 어떤 삼각형이 있다. 맨 윗줄은 $10$ 이고, 둘째 줄은 $10$ 다음에 $1$ 이 오는 형태이다. 그 뒤로 이어지는 각 줄에서 첫 번째 수는 $10$ , 마지막 수는 $1$ 이며, 표준 파스칼의 삼각형에서와 마찬가지로 나머지 각 수는 바로 위에 있는 두 수의 합이다. 처음 네 줄은 아래와 같다.
$\large{10}$
$\large{10}\qquad\large{1}$
$\large{10}\qquad\large{11}\qquad\large{1}$
$\large{10}\qquad\large{21}\qquad\large{12}\qquad\large{1}$
$11$ 번째 줄에 있는 수들의 합의 각 자리 숫자의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 파스칼의 삼각형처럼 만들되, 모든 줄이 $10$ 으로 시작해서 $1$ 로 끝나는 삼각형입니다. 가운데 수들은 바로 위 두 수의 합입니다. $11$ 번째 줄에 있는 수들의 합을 구한 뒤, 그 합의 각 자리 숫자를 모두 더하세요.

주어진 것: 1번째 줄은 $10$; 2번째 줄은 $10,\ 1$; 3번째 줄은 $10,\ 11,\ 1$; 4번째 줄은 $10,\ 21,\ 12,\ 1$; 모든 줄에서 첫 수는 $10$, 마지막 수는 $1$; 그 밖의 모든 수는 바로 위 두 수의 합; 선택지: (A) $11$, (B) $13$, (C) $14$, (D) $16$, (E) $17$

구하는 것: $11$ 번째 줄 모든 수의 합에서, 그 합의 각 자리 숫자를 더한 값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

11개 줄을 다 만들어 더하는 것은 부담스러우므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 짧은 앞 줄들의 합만 먼저 구합니다. 그 합들이 깔끔한 배가 규칙을 드러내고, 도구 #5(패턴 찾기)가 그 규칙을 거대한 가운데 줄을 쓰지 않고도 11번째 줄까지 곧장 이어 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 단계 질문을 깔끔하게 정리합니다: 먼저 줄의 합을 구하고, 그다음 그 합의 각 자리 숫자를 따로 더합니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.4 단계 1

앞의 짧은 줄들을 더하기

이미 주어진 짧은 줄들의 합을 각각 구합니다.
1번째 줄은 $10$ 뿐입니다.
2번째 줄은 $10+1=11$.
3번째 줄은 $10+11+1=22$.
4번째 줄은 $10+21+12+1=44$.
한 줄 더 만들면 5번째 줄은 $10,\ 31,\ 33,\ 13,\ 1$ 이고 합은 $88$ 입니다.

$$S_1=10,\quad S_2=11,\quad S_3=22,\quad S_4=44,\quad S_5=88$$

💡 쉬운 작은 경우부터 해 보면 패턴이 스스로 드러납니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

배가 규칙 발견하기

2번째 줄부터 각 합은 바로 앞 합의 정확히 두 배입니다: $11,\ 22,\ 44,\ 88$.
이는 다음 줄을 만들 때 현재 줄의 모든 수가 가운데 합들에 두 번씩 쓰이고, 양 끝에 고정으로 놓는 $10$ 과 $1$ 이 한 번만 쓰인 양 끝 두 수를 정확히 메워 주기 때문입니다.
그래서 2번째 줄부터는 합이 매 단계 두 배가 됩니다.

$$S_{n+1}=2S_n\ (n\ge 2)$$

💡 각 수가 아래 줄의 두 수에 보태지므로 전체 합이 그대로 복제됩니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.5 단계 3

2번째 줄에서 11번째 줄까지 두 배씩

2번째 줄의 합은 $11$ 이고, 11번째 줄까지 가려면 $9$ 번 더 두 배로 만들면 됩니다.
계속 두 배: $11,\ 22,\ 44,\ 88,\ 176,\ 352,\ 704,\ 1408,\ 2816,\ 5632$.
마지막 값 $5632$ 가 $11$ 번째 줄의 합입니다.
(이는 $11$ 곱하기 $512$ 와 같고, $512$ 는 $2$ 를 아홉 번 두 배로 한 수입니다.)

$$S_{11}=11\times 512 = 5632$$

💡 두 배가 된다는 것만 알면 지저분한 가운데 수는 아예 필요 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

합의 각 자리 숫자 더하기

문제는 줄의 합 자체가 아니라 그 합의 각 자리 숫자의 합을 묻습니다.
$5632$ 의 각 자리 숫자를 더합니다: $5+6+3+2=16$.
이것이 선택지 (D)와 맞습니다.
$5632$ 에서 멈추거나, 2번째 줄부터 $9$ 번이 아니라 $10$ 번 두 배로 하는 함정을 조심하세요.

$$5+6+3+2=16\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 문제의 마지막 줄을 다시 읽어 큰 수에서 멈추지 말고 자리 숫자를 더하세요.

[1] #9 4.NBT.B.4 이미 주어진 짧은 줄들의 합을 각각 구합니다. 1번째 줄은 $10$ 뿐입니다. 2번째 줄은 $10+1=11$. 3번째 줄은 $10+11+1=22

[2] #5 4.OA.C.5 2번째 줄부터 각 합은 바로 앞 합의 정확히 두 배입니다: $11,\ 22,\ 44,\ 88$. 이는 다음 줄을 만들 때 현재 줄의 모든 수가

[3] #5 4.NBT.B.5 2번째 줄의 합은 $11$ 이고, 11번째 줄까지 가려면 $9$ 번 더 두 배로 만들면 됩니다. 계속 두 배: $11,\ 22,\ 44,\ 88

[4] #7 4.NBT.B.4 문제는 줄의 합 자체가 아니라 그 합의 각 자리 숫자의 합을 묻습니다. $5632$ 의 각 자리 숫자를 더합니다: $5+6+3+2=16$. 이것

검토

합리성 확인: 배가 규칙은 주어진 줄들로 바로 확인할 수 있습니다: $11\to22\to44$ 가 2, 3, 4번째 줄과 정확히 맞으므로 뒤 줄에 이 규칙을 믿고 쓰는 것은 안전합니다. 실수가 나올 수 있는 유일한 곳은 두 배 횟수 세기입니다: 2번째 줄이 $11$ 이고, 3번째부터 11번째까지가 아홉 번 더 두 배여서 $5632$ 에 도달합니다. 그 자리 숫자의 합 $16$ 은 선택지 중 하나이고, 나머지 선택지($11,13,14,17$)는 모두 $5632$ 의 자리 숫자 합이 아닙니다.

대안 접근: $9$ 로 나눈 나머지를 이용합니다: 어떤 수와 그 각 자리 숫자의 합은 $9$ 로 나눈 나머지가 같습니다. $10\equiv1\pmod 9$ 이므로 이 삼각형은 $9$ 를 법으로 보면 보통의 파스칼 삼각형처럼 행동하고, 그 $11$ 번째 줄의 합은 $2^{10}=1024\equiv7\pmod 9$ 입니다. 선택지 중 $9$ 로 나눈 나머지가 $7$ 인 것은 $16$ 뿐이므로 답은 (D)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만든다 (각 줄의 합이 앞 줄의 두 배임을 알아채고 그 규칙을 주어진 줄들에서 11번째 줄까지 이어 가는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 (앞 줄들의 수를 더해 합을 구하고, 마지막 합의 각 자리 숫자 $5+6+3+2$ 를 더하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 최대 네 자리 수에 한 자리 수를 곱한다 (각 줄의 합을 단계별로 두 배(즉 $2$ 를 곱함)로 만들어 $5632$ 까지 도달하는 데 사용.)

⭐ 줄의 합이 계속 두 배가 된다는 것만 알아채면 11번째 합으로 바로 건너뛰고, 그다음 그 자리 숫자를 더하는 것을 잊지 마세요.