AMC 10 · 2025 · #4

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

base-conversiondigit-decompositionlinear-diophantine convert-to-algebra ↑ 선수 지식: base-conversion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

칠진법으로 나타낸 두 자리 수 $\underline{a}~\underline{b}$ 의 값이 구진법으로 나타낸 두 자리 수 $\underline{b}~\underline{a}$ 의 값과 같다. $a+b$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

~10

(D)

~11

(E)

~14

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 7진법으로 읽은 두 자리 수 $\underline{a}\,\underline{b}$ 의 값이, 두 숫자를 뒤집어 9진법으로 읽은 두 자리 수 $\underline{b}\,\underline{a}$ 의 값과 같다. 두 자리 숫자의 합 $a+b$ 를 구하라.

주어진 것: $\underline{a}\,\underline{b}$ 는 7진법의 두 자리 수이다; $\underline{b}\,\underline{a}$ 는 같은 두 숫자의 순서를 뒤집어 9진법으로 읽은 수이다; 7진법으로 읽은 값과 9진법으로 읽은 값이 같다; 선택지: (A) $7$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $14$

구하는 것: 두 숫자 $a$ 와 $b$, 그리고 그 합 $a+b$

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

숫자 $a$ 와 $b$ 가 모르는 값이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 변수로 이름 붙이고 각 수의 자릿값 의미를 방정식으로 바꾼다. 방정식을 풀면 두 숫자의 비만 정해지므로, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 조건에 맞는 작은 숫자 쌍을 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 7진법 숫자 한계($a,b\le 6$)를 써서 같은 비를 만족하지만 숫자로 쓸 수 없는 더 큰 쌍을 걸러낸다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

각 수를 자릿값으로 쓰기

두 자리 수에서 왼쪽 숫자는 '밑' 자리에, 오른쪽 숫자는 '일' 자리에 있다.
그래서 7진법에서 왼쪽 숫자는 하나에 7씩이므로 $\underline{a}\,\underline{b}$ 는 $7a+b$ 를 뜻한다.
9진법에서 왼쪽 숫자는 하나에 9씩이므로 뒤집힌 $\underline{b}\,\underline{a}$ 는 $9b+a$ 를 뜻한다.

$$\underline{a}\,\underline{b}_{\,7}=7a+b,\qquad \underline{b}\,\underline{a}_{\,9}=9b+a$$

💡 두 자리 수는 결국 밑 곱하기 첫 숫자 더하기 둘째 숫자일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 2

값을 같다고 놓고 정리하기

두 값이 같으므로 $7a+b=9b+a$ 이다.
$a$ 항은 한쪽으로, $b$ 항은 다른 쪽으로 모으자.
양변에서 $a$ 와 $b$ 를 빼면 $6a=8b$ 가 되고, 양변을 $2$ 로 나누면 $3a=4b$ 에 도달한다.

$$7a+b=9b+a\;\Rightarrow\;6a=8b\;\Rightarrow\;3a=4b$$

💡 같은 항을 등호 너머로 옮겨 관계식을 가장 간단한 꼴로 줄인다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.1 단계 3

숫자를 찾아 더하기

식 $3a=4b$ 는 두 숫자의 비가 $a:b=4:3$ 임을 말한다.
즉 $a$ 는 $4$ 의 배수, $b$ 는 그에 맞는 $3$ 의 배수여야 하므로 가능한 쌍은 $(4,3)$, 다음은 $(8,6)$ 등이다.
그런데 7진법 숫자는 최대 $6$ 이므로 $(8,6)$ 은 쓸 수 없어 걸러진다 — 이 함정은 선택지 (E)의 잘못된 합 $14$ 로 이어진다.
유효한 쌍은 $a=4,\;b=3$ 뿐이다.
확인해 보면 $7(4)+3=31$, $9(3)+4=31$ 로 같다.
그 합은 $a+b=4+3=7$ 이고, 이는 선택지 (A)이다.

$$3a=4b\Rightarrow a:b=4:3\Rightarrow (a,b)=(4,3);\;\;a+b=7\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 비는 두 숫자를 배율까지 정해 주고, 숫자 한계가 가장 작은 유효한 배율만 남긴다.

[1] #4 6.EE.B.6 두 자리 수에서 왼쪽 숫자는 '밑' 자리에, 오른쪽 숫자는 '일' 자리에 있다. 그래서 7진법에서 왼쪽 숫자는 하나에 7씩이므로 $\underl

[2] #4 8.EE.C.7 두 값이 같으므로 $7a+b=9b+a$ 이다. $a$ 항은 한쪽으로, $b$ 항은 다른 쪽으로 모으자. 양변에서 $a$ 와 $b$ 를 빼면 $6

[3] #3 6.RP.A.1 식 $3a=4b$ 는 두 숫자의 비가 $a:b=4:3$ 임을 말한다. 즉 $a$ 는 $4$ 의 배수, $b$ 는 그에 맞는 $3$ 의 배수여야

검토

합리성 확인: 두 수 모두 $31$ 로 계산되어 설정이 앞뒤가 맞는다: $7\cdot4+3=31$, $9\cdot3+4=31$. 숫자 $4$ 와 $3$ 은 모두 $7$ 보다 작아 7진법(과 9진법)에서 유효하고, 맨 앞 숫자 $4$ 는 $0$ 이 아니므로 $\underline{a}\,\underline{b}$ 는 실제로 두 자리 수이다. 합 $4+3=7$ 은 (A)와 일치한다. 더 큰 비 쌍 $(8,6)$ 은 $8+6=14$ 로 선택지 (E)의 함정과 정확히 같지만, $8$ 은 7진법 숫자가 아니므로 올바르게 버려진다.

대안 접근: 비를 쓰지 않고 $6a=8b$ 에서 바로 추측하고 확인해도 된다. $6a=8b$ 를 참으로 만드는 가장 작은 자연수 쌍은 $a=4,\,b=3$ 이며($6\cdot4=8\cdot3=24$), 그보다 큰 쌍은 숫자 한계를 넘으므로, 비를 명시하지 않고도 $(4,3)$ 과 $a+b=7$ 에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (숫자 $a,b$ 를 변수로 이름 붙이고 각 수를 자릿값으로 $7a+b$, $9b+a$ 로 쓰기.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($7a+b=9b+a$ 에서 같은 항을 등호 너머로 모아 $3a=4b$ 까지 정리하기.)
6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language ($3a=4b$ 를 비 $a:b=4:3$ 으로 읽어 숫자 한계를 적용하기 전에 후보 숫자 쌍을 나열하기.)

⭐ 어떤 진법에서든 두 자리 수는 밑 곱하기 첫 숫자 더하기 둘째 숫자일 뿐이라서, 그것을 그대로 쓰면 진법 문제가 간단한 방정식으로 바뀐다.