AMC 10 · 2025 · #4

학년 8 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
base-conversiondigit-decompositionlinear-diophantine convert-to-algebra ↑ 선수 지식: base-conversion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 자리 수의 숫자가 앞에서부터 a, b 이고 이 수를 7진법으로 읽는다. 숫자의 순서를 뒤집으면 b, a 가 되고 이 수는 9진법으로 읽는다. 두 수의 값은 서로 같다. 두 숫자의 합 a+b 를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
9
(C)
10
(D)
11
(E)
14

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

숫자 a 와 b 가 모르는 값이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 변수로 이름 붙이고 각 수의 자릿값 의미를 방정식으로 바꾼다. 방정식을 풀면 두 숫자의 비만 정해지므로, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 조건에 맞는 작은 숫자 쌍을 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 7진법 숫자 한계(a,b ≤ 6)를 써서 같은 비를 만족하지만 숫자로 쓸 수 없는 더 큰 쌍을 걸러낸다.

1STEP 1

각 수를 자릿값으로 쓰기

자릿값에서 왼쪽 숫자는 밑만큼이니, 7진법은 7a+b, 뒤집은 9진법은 9b+a 이다.

a b_ 7=7a+b, b a_ 9=9b+a
2STEP 2

값을 같다고 놓고 정리하기

두 값을 같다고 놓으면 7a+b=9b+a, 같은 항끼리 모으면 6a=8b, 반으로 줄이면 3a=4b 이다.

7a+b=9b+a → 6a=8b → 3a=4b
3STEP 3

숫자를 찾아 더하기

즉 a:b=4:3이고, 다음 쌍 (8,6)은 7진법 숫자 한계를 넘으므로 a=4, b=3, 곧 a+b=7 이다.

3a=4b→ a:b=4:3→ (a,b)=(4,3); a+b=7 → (A)
정답
7
두 수 모두 31로 계산되어 설정이 앞뒤가 맞는다: 7·4+3=31, 9·3+4=31. 숫자 4와 3은 모두 7 보다 작아 7진법(과 9진법)에서 유효하고, 맨 앞 숫자 4는 0이 아니므로 a b 는 실제로 두 자리 수이다. 합 4+3=7 은 (A)와 일치한다. 더 큰 비 쌍 (8,6)은 8+6=14로 선택지 (E)의 함정과 정확히 같지만, 8은 7진법 숫자가 아니므로 올바르게 버려진다.
💡핵심 정리

어떤 진법에서든 두 자리 수는 밑 곱하기 첫 숫자 더하기 둘째 숫자일 뿐이라서, 그것을 그대로 쓰면 진법 문제가 간단한 방정식으로 바뀐다.

  • 각 수를 자릿값으로 쓰기
  • 값을 같다고 놓고 정리하기
  • 숫자를 찾아 더하기

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