AMC 10 · 2025 · #8

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesdigit-sumdigit-constraints casework ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

에미가 맥스에게 말한다. "나 오늘 수학 동아리 맨투맨 티셔츠 36벌을 주문했어." 맥스가 묻는다. "티셔츠 한 벌에 얼마였어?" 에미가 대답한다. "힌트를 하나 줄게. 총 비용은 $\$ \underline A~\underline B~\underline B.\underline B~\underline A$ 달러였는데, 여기서 $A$ 와 $B$ 는 숫자(digit)이고 $A \neq 0$ 이야." 잠시 생각하던 맥스가 말한다. "가격 괜찮았네." $A + B$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

~11

(D)

~14

(E)

~15

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 전체 금액이 $\underline A\,\underline B\,\underline B.\underline B\,\underline A$ 달러 꼴로 적혀 있다. 여기서 A와 B는 숫자이고 A는 0이 아니다. 이 금액은 티셔츠 36장을 각각 정수 센트 가격으로 산 총액이다. $A + B$를 구하라.

주어진 것: 총액은 $A\,B\,B.\,B\,A$ 라는 숫자 배열을 가진다 (소수점 앞 세 자리, 뒤 두 자리).; A와 B는 한 자리 숫자이고 $A \neq 0$이다.; 총액은 똑같은 티셔츠 36장의 가격이며, 각 장의 가격은 정수 센트이다.

구하는 것: 숫자 A와 B, 따라서 그 합 $A + B$.

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #4 변수 도입하기

숫자 A와 B는 몇 가지 값밖에 될 수 없으므로, 각 조건을 나누어떨어짐 검사로 바꾸어 통과하지 못하는 짝을 하나씩 지우는 것이 똑똑한 방법이다. 먼저 가격을 정수 센트로 읽어 '36으로 나누어떨어짐'을 정확한 뜻으로 만든 뒤, 9와 4의 규칙으로 후보를 하나의 짝으로 좁힌다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 5.NBT.A.3 단계 1

가격을 정수 센트로 읽기

총액은 소수점 앞에 A, B, B가, 뒤에 B, A가 오는 금액이다.
정수 센트로 쓰면 다섯 자리 수 $A\,B\,B\,B\,A$가 된다.
티셔츠 36장이 비용을 똑같이 나누고 각 장이 정수 센트이므로, 이 센트 총액은 36으로 나누어떨어져야 한다.

\text{센트} = \underline A\,\underline B\,\underline B\,\underline B\,\underline A,\quad 36 \mid \text{센트}

💡 센트로 나타낸 돈은 그냥 정수이므로 '36명에게 똑같이 나눔'이 깔끔한 나누어떨어짐 문제로 바뀐다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 2

36을 4와 9로 쪼개기

어떤 수가 36으로 나누어떨어지는 것은 4로도 9로도 나누어떨어질 때와 정확히 같다.
$36 = 4 \times 9$이고 4와 9는 공통 인수가 없기 때문이다.
따라서 다섯 자리 수 $A\,B\,B\,B\,A$는 9의 규칙과 4의 규칙을 동시에 만족해야 한다.

$$36 = 4 \times 9$$

💡 36을 4와 9로 쪼개면 큰 수를 직접 나누는 대신 쉬운 자릿수 규칙 두 개를 쓸 수 있다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

9의 규칙 적용하기

9의 규칙은 각 자리 숫자의 합이 9의 배수여야 한다는 것이다.
숫자는 A, B, B, B, A이므로 그 합은 $2A + 3B$이다.
그런데 $3B$는 이미 3의 배수이므로, 전체 합이 9의 배수(따라서 3의 배수)가 되려면 $2A$도 3의 배수여야 한다.
그러면 A가 3의 배수가 된다.
$A \neq 0$이므로 $A \in \{3, 6, 9\}$이다.

$$2A + 3B \equiv 0 \pmod 9 \;\Rightarrow\; 3 \mid A \;\Rightarrow\; A \in \{3,6,9\}$$

💡 3B가 이미 3의 배수이므로 나머지 몫은 A가 짊어져야 하고, 그래서 A도 3의 배수여야 한다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

4로 나누어떨어짐으로 A 확정하기

4로 나누어떨어지는 수는 짝수이므로 마지막 자리 숫자가 짝수여야 한다.
여기서 마지막 자리는 A이므로 A는 짝수여야 한다.
3, 6, 9 중에서 짝수는 6뿐이다.
따라서 $A = 6$이다.

A \text{ 짝수이고 } A \in \{3,6,9\} \;\Rightarrow\; A = 6

💡 4로 나누어떨어지려면 마지막 자리가 짝수여야 하는데, A에 남은 짝수는 6뿐이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 5

9의 규칙으로 B 좁히기

$A = 6$을 자리 숫자 합에 다시 넣으면 $2(6) + 3B = 12 + 3B$가 9의 배수여야 한다.
조건을 3으로 나누면 $4 + B$가 3의 배수여야 하므로, B는 3으로 나눈 나머지가 2이다.
숫자 후보는 $B \in \{2, 5, 8\}$이다.

$$12 + 3B \equiv 0 \pmod 9 \;\Rightarrow\; B \equiv 2 \pmod 3 \;\Rightarrow\; B \in \{2,5,8\}$$

💡 A를 6으로 고정하면 9의 규칙이 B의 짧은 후보 목록으로 바뀐다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 6

4의 규칙으로 마무리하기

4의 규칙은 마지막 두 자리를 확인하는데, 그 두 자리는 B 다음에 A로서 $10B + A = 10B + 6$을 이룬다.
후보를 하나씩 검사하면 $B = 2$는 26 (4로 안 나누어짐), $B = 5$는 56 (됨, $56 = 4 \times 14$), $B = 8$은 86 (4로 안 나누어짐)이다.
$B = 5$만 통과한다.
따라서 $A = 6$, $B = 5$이고 $A + B = 11$이다.
답은 (C)이다.

$$10B + 6 \equiv 0 \pmod 4 \;\Rightarrow\; B = 5;\quad A + B = 6 + 5 = 11$$

💡 마지막 두 자리 '56'만이 4로 나누어떨어져서 B가 하나로 확정된다.

[1] #8 5.NBT.A.3 총액은 소수점 앞에 A, B, B가, 뒤에 B, A가 오는 금액이다. 정수 센트로 쓰면 다섯 자리 수 $A\,B\,B\,B\,A$가 된다. 티셔

[2] #3 4.OA.B.4 어떤 수가 36으로 나누어떨어지는 것은 4로도 9로도 나누어떨어질 때와 정확히 같다. $36 = 4 \times 9$이고 4와 9는 공통 인수가

[3] #4 6.EE.B.6 9의 규칙은 각 자리 숫자의 합이 9의 배수여야 한다는 것이다. 숫자는 A, B, B, B, A이므로 그 합은 $2A + 3B$이다. 그런데 $

[4] #3 4.OA.B.4 4로 나누어떨어지는 수는 짝수이므로 마지막 자리 숫자가 짝수여야 한다. 여기서 마지막 자리는 A이므로 A는 짝수여야 한다. 3, 6, 9 중에서

[5] #4 6.EE.B.6 $A = 6$을 자리 숫자 합에 다시 넣으면 $2(6) + 3B = 12 + 3B$가 9의 배수여야 한다. 조건을 3으로 나누면 $4 + B$가

[6] #3 4.OA.B.4 4의 규칙은 마지막 두 자리를 확인하는데, 그 두 자리는 B 다음에 A로서 $10B + A = 10B + 6$을 이룬다. 후보를 하나씩 검사하면

검토

합리성 확인: 찾은 수를 직접 확인하자. $A = 6$, $B = 5$이면 센트 총액은 65,556이다. 36으로 나누면 $65556 \div 36 = 1821$로 정수이므로 각 티셔츠는 18.21달러이고 나눗셈이 정확히 맞아떨어진다. 자리 숫자 합 $6+5+5+5+6 = 27$은 9의 배수이고, 마지막 두 자리 56은 4의 배수이므로 36으로 나누어떨어짐이 확인된다. 따라서 $A + B = 11$로 보기 (C)와 일치한다.

대안 접근: 자릿수 규칙으로 추론하는 대신, 유한한 후보를 힘으로 모두 나열할 수도 있다. A와 B는 각각 한 자리 숫자이고 $A \neq 0$이므로 수 $A\,B\,B\,B\,A$를 모두 훑어 36으로 나누어떨어지는 것만 남긴다. 유일하게 살아남는 수는 65,556이고, 역시 $A + B = 11$을 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.A.3 Read, write, and compare decimals to thousandths (달러와 센트 금액 $A\,B\,B.\,B\,A$를 읽고, 나누어떨어짐이 의미를 갖도록 정수 센트로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($36 = 4 \times 9$임을 알아채고 4와 9의 나누어떨어짐 규칙으로 숫자 후보를 지우는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (숫자 A와 B를 미지수로 두고 자리 숫자 합 $2A + 3B$ 식을 세우는 데 사용.)

⭐ 36으로 나누어떨어지는지 확인하려면 4와 9로 쪼갠 뒤, 두 가지 쉬운 자릿수 규칙으로 불가능한 짝을 모두 지워 하나만 남기면 된다.