AMC 10 · 2025 · #8

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesdigit-sumdigit-constraints casework ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

똑같은 티셔츠 36벌을 산 총액이 ABB.BA 달러이다 — 다섯 자리 숫자를 순서대로 쓰면 A, B, B, B, A이고, A와 B는 숫자이며 A는 0이 아니다. 티셔츠 한 벌의 값은 모두 같은 정수 센트이다. A + B를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

숫자 A와 B는 몇 가지 값밖에 될 수 없으므로, 각 조건을 나누어떨어짐 검사로 바꾸어 통과하지 못하는 짝을 하나씩 지우는 것이 똑똑한 방법이다. 먼저 가격을 정수 센트로 읽어 '36으로 나누어떨어짐'을 정확한 뜻으로 만든 뒤, 9와 4의 규칙으로 후보를 하나의 짝으로 좁힌다.

1STEP 1

가격을 정수 센트로 읽기

센트로 쓰면 총액은 다섯 자리 수 ABBBA이고, 36벌이 똑같이 나누므로 36으로 나누어떨어진다.

센트 = underline A underline B underline B underline B underline A, 36 ∣ 센트

2STEP 2

36을 4와 9로 쪼개기

36 = 4 × 9이고 4와 9는 공통 인수가 없으므로, ABBBA는 4의 규칙과 9의 규칙을 동시에 만족해야 한다.

36 = 4 × 9

3STEP 3

9의 규칙 적용하기

자리 숫자 합은 2A + 3B인데 3B는 이미 3의 배수라 A도 3의 배수여야 하므로 A = 3, 6, 9만 남는다.

2A + 3B ≡ 0 (mod 9) → 3 ∣ A → A ∈ {3,6,9}

4STEP 4

4로 나누어떨어짐으로 A 확정하기

4로 나누어떨어지면 짝수이고 마지막 자리가 A이므로, 3, 6, 9 중 A = 6만 살아남는다.

A 짝수이고 A ∈ {3,6,9} → A = 6

5STEP 5

9의 규칙으로 B 좁히기

A = 6이면 자리 합 12 + 3B가 9의 배수인 경우는 3으로 나눈 나머지가 2인 B = 2, 5, 8뿐이다.

12 + 3B ≡ 0 (mod 9) → B ≡ 2 (mod 3) → B ∈ {2,5,8}

6STEP 6

4의 규칙으로 마무리하기

마지막 두 자리 10B + 6 중 26, 56, 86에서 56만 4의 배수이므로 B = 5, A + B = 11, 답은 (C)이다.

10B + 6 ≡ 0 (mod 4) → B = 5; A + B = 6 + 5 = 11

정답

찾은 수를 직접 확인하자. A = 6, B = 5이면 센트 총액은 65,556이다. 36으로 나누면 65556 ÷ 36 = 1821로 정수이므로 각 티셔츠는 18.21달러이고 나눗셈이 정확히 맞아떨어진다. 자리 숫자 합 6+5+5+5+6 = 27은 9의 배수이고, 마지막 두 자리 56은 4의 배수이므로 36으로 나누어떨어짐이 확인된다. 따라서 A + B = 11로 보기 (C)와 일치한다.

💡핵심 정리

36으로 나누어떨어지는지 확인하려면 4와 9로 쪼갠 뒤, 두 가지 쉬운 자릿수 규칙으로 불가능한 짝을 모두 지워 하나만 남기면 된다.

가격을 정수 센트로 읽기
36을 4와 9로 쪼개기
9의 규칙 적용하기
4로 나누어떨어짐으로 A 확정하기
9의 규칙으로 B 좁히기
4의 규칙으로 마무리하기