AMC 10 · 2002 · #13
학년 9 algebra답을 골라 클릭하세요.
"역수와 1만큼 차이 난다"는 성질은 수 하나에 대한 문장이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 문자 x 하나가 a와 b 어느 쪽이든 대신하게 하고, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 그 성질을 방정식으로 만듭니다. 서둘러서는 안 되는 것은 "차이 난다"라는 말입니다: 여기에는 절댓값이 숨어 있으므로, 정직한 번역은 방정식 하나가 아니라 둘입니다. x - 1/x = 1만 풀면 양수 하나만 나와서 문제의 두 번째 수가 사라져 버립니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)이 문제가 요구하는 걸러내기를 합니다 — 대수에서 네 개의 해가 나오고, "양수"라는 말이 그중 둘만 남깁니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 검토 단계에서 쓰는 더 짧은 두 번째 경로를 제공합니다.
성질을 하나의 조건으로 쓰기
차가 1이라는 것은 거리이므로 두 경우 모두다: x - 1/x = 1 또는 1/x - x = 1.
"1만큼 차이 난다"는 얼마나 떨어져 있는지만 알려 줄 뿐 어느 쪽이 위인지는 말하지 않으므로, 살펴야 할 방향이 둘입니다.
9.A-CED.A.1Introduce A Variable역수 없애기
각 식에 x를 곱하면 역수가 사라져 x²-x-1 = 0과 x²+x-1 = 0이 된다.
x를 곱하면 다루기 불편한 역수가 평범한 이차식으로 바뀝니다.
9.A-SSE.A.2Convert To Algebra양수인 해만 남기기
음수 근을 버리면 양수 둘 (1+√5)/2와 (-1+√5)/2가 남는다.
대수는 네 개의 해를 돌려주지만, 문제에 있는 "양수"라는 한 단어가 그중 둘만 남깁니다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities두 수 더하기
더하면 상수항이 상쇄되어 2√5/2 = √5, 보기 (C).
두 해는 √(5)/2를 중심으로 양쪽에 대칭으로 놓여 있으므로, 합은 그 중심의 두 배입니다.
살아남은 두 근은 한 중점의 양쪽으로 같은 거리에 있으므로, 그 합은 그 중점의 두 배다.
▸ 왜?
이차식의 계수가 이미 근의 합을 담고 있으므로, 어느 근도 구하지 않고 합을 읽어 낼 수 있다.
▸ 왜?
어떤 중심의 양쪽에 대칭으로 놓인 두 값을 짝지으면 벌어진 정도와 상관없이 언제나 그 중심의 두 배가 된다.
"차이 난다"에는 절댓값이 숨어 있으니 두 방향을 모두 살펴라 — 그런 다음 "양수"라는 말이 문제가 원하지 않던 해를 버리게 하라.
- 성질을 하나의 조건으로 쓰기
- 역수 없애기
- 양수인 해만 남기기
- 두 수 더하기