AMC 10 · 2002 · #18
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
두 방정식은 그림을 숨기고 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 먼저다. 두 중심과 반지름을 읽어 내면 두 원이 x축 위에서 서로 떨어져 있음이 보인다. 그다음 도구 #17(공간 상상하기)이 대수가 답해 주지 않는 질문을 처리한다. 공통 접선은 두 중심을 같은 쪽에 둘 수도 있고 서로 갈라놓을 수도 있으며, 이 둘은 진짜로 다른 선분이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 배치를 다룬다. 수직인 두 반지름을 하나의 직각삼각형으로 접어 넣으면 빗변은 고정된 중심 거리가 된다. 마지막으로 "가장 짧은"이라는 말이 도구 #14(극단의 원리)다. 한쪽만 계산하고 끝내면 안 되고 두 배치를 모두 계산해 비교해야 한다.
방정식에서 중심과 반지름 읽기
방정식에서 반지름 6과 9, 중심 거리 25를 읽는다. 25가 6+9보다 크므로 두 원은 떨어져 있다.
원의 방정식은 중심과 반지름을 그대로 드러내므로, 그림은 한 번 읽는 것만으로 손에 들어온다.
10.G-GPE.A.1Draw A Diagram접함이 만드는 두 직각
반지름은 접선과 직각을 이루므로 두 반지름은 평행하다 — 같은 방향이거나 반대 방향이다.
같은 직선에 수직인 두 선분은 평행할 수밖에 없으므로, 남는 선택은 각 중심이 직선의 어느 쪽에 서는가뿐이다.
접점으로 그은 각 반지름은 접선과 직각을 이루므로, 두 반지름은 서로 평행하다.
▸ 왜?
원을 한 점에서만 스치는 직선은 그 점으로 그은 반지름과 직각으로 만난다.
▸ 왜?
같은 직선에 직각으로 선 두 직선은 결코 만나지 않으므로, 끝까지 일정한 간격을 유지한다.
두 경우를 직각삼각형으로 접기
접선을 축에 놓으면 각 경우가 빗변 25, 수직 차 9-6 또는 9+6인 직각삼각형이 된다.
접선을 축 위에 올리면 수직인 두 반지름이 세로 간격으로 바뀌고, 고정된 중심 거리가 하나의 빗변이 된다.
8.G.B.7Identify Subproblems둘 다 풀고 짧은 쪽 고르기
가로지르는 경우가 더 큰 제곱을 빼 L² = 625-225 = 400이 되어 최단은 20, 보기 (C).
빗변이 25로 묶여 있으므로 수직인 변이 클수록 직선 방향으로 남는 길이는 줄어든다.
8.EE.A.2Extreme Principle접선은 반지름과 직각으로 만나므로, 두 반지름을 중심 거리를 빗변으로 하는 하나의 직각삼각형에 밀어 넣어라 — 그리고 직선이 지나갈 수 있는 두 방식을 모두 확인하라.
- 방정식에서 중심과 반지름 읽기
- 접함이 만드는 두 직각
- 두 경우를 직각삼각형으로 접기
- 둘 다 풀고 짧은 쪽 고르기