AMC 10 · 2002 · #20
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
주어진 두 길이와 정답이 모두 두 변에 의해 정해지므로, 핵심 수는 도구 #4 (변수 도입하기)이다: 두 변을 p = OX, q = OY로 놓는다. 도구 #1 (그림 그리기)로 보면 XN, YM, XY가 각각 O에 직각을 둔 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리가 모든 길이를 p와 q에 대한 식으로 바꾼다. 영리한 부분은 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이다: p와 q를 따로 구할 필요가 전혀 없고, 오직 p² + q²만 있으면 되며, 두 식을 더하면 그것이 한 번에 나온다.
두 변에 이름 붙이기
두 변을 p, q라 하면 중점은 p/2와 q/2에 놓인다.
모르는 두 변에 이름을 붙이면 그림 속 모든 길이가 계산할 수 있는 식이 된다.
6.EE.A.2Introduce A Variable선분 XN에 피타고라스 적용
첫 가로지르는 선분에 피타고라스를 쓰면 p² + q²/4 = 361.
X, O, N이 O에서 직각인 삼각형을 이루므로 XN은 그 빗변일 뿐이다.
8.G.B.7Identify Subproblems선분 YM에 피타고라스 적용
두 번째는 거울처럼 q² + p²/4 = 484가 된다.
O에 있는 같은 직각 덕분에 YM은 두 번째 직각삼각형의 빗변이 된다.
8.G.B.7Identify Subproblems두 식을 더하기
더하면 전체의 4분의 5가 되어 p² + q² = 676이다.
두 식 모두 같은 묶음 p² + q²을 감추고 있으므로, 더하면 그 묶음이 바로 빠져나온다.
두 식이 같은 제곱 두 개의 묶음을 숨기고 있으므로, 더하면 그 묶음이 곧바로 빠져나온다.
▸ 왜?
중심의 직각 덕분에 각 선분이 직각삼각형의 빗변이 되므로, 그 제곱은 두 변의 제곱을 더한 것이다.
▸ 왜?
참인 두 등식을 더해도 참이 유지되므로, 어느 변도 구하지 않고 공통된 묶음을 모을 수 있다.
빗변 XY에 피타고라스 적용
그 합이 빗변의 제곱이므로 XY = 26, 보기 (B).
두 식이 건네준 바로 그 양 p² + q²이 정확히 XY²이다.
8.G.B.7Identify Subproblems두 피타고라스 식이 모두 같은 p² + q²을 감추고 있을 때는, 각 변을 구하는 대신 두 식을 더하라 — 원하는 묶음이 바로 튀어나온다.
- 두 변에 이름 붙이기
- 선분 XN에 피타고라스 적용
- 선분 YM에 피타고라스 적용
- 두 식을 더하기
- 빗변 XY에 피타고라스 적용