AMC 10 · 2002 · #16
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
이 실험의 전체 결과는 똑같이 일어날 확률을 가진 100가지뿐이므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 정직하게 세기만 해도 답에 닿는다 — 영리한 기교가 필요 없다. 목록은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 짧아진다. 티나의 쌍에서 중요한 것은 오직 합이므로, 쌍을 합별로 묶어 한 번씩만 다룬다. 도구 #4(변수 도입하기)가 다리를 놓는다. 티나의 합을 T라 하면 세르지오가 이기는 수의 개수는 언제나 10-T이고, 일곱 가지 경우가 하나의 식으로 합쳐진다.
확률이 같은 결과 모두 세기
티나는 C(5,2) = 10쌍, 세르지오는 10개의 수이므로 확률이 같은 경우는 100가지다.
모든 결과의 무게가 같으면 확률은 세기로 바뀐다 — 유리한 것 나누기 전체.
모든 뽑기가 똑같이 일어날 만하므로, 확률은 이기는 결과의 수를 전체 결과의 수로 나눈 것일 뿐이다.
▸ 왜?
결과들이 같은 무게를 지닐 때 어떤 사건의 확률은 그것을 주는 결과의 수를 전체 결과의 수로 나눈 것이다.
▸ 왜?
결과를 티나의 합으로 무리 지으면 모든 결과가 정확히 한 무리에 들어가므로, 무리별 개수를 그냥 더하면 된다.
주어진 합을 이기는 수의 개수
티나의 합이 T이면 세르지오의 수 중 정확히 10 - T개가 이를 이기고, T는 3부터 9까지다.
티나의 합이 정해지면 세르지오가 이기는 수는 그 위에 10까지 쌓인 자연수들일 뿐이다.
6.EE.A.2Introduce A Variable티나의 쌍을 합별로 묶기
쌍을 합별로 정리하면 묶음 크기가 1,1,2,2,2,1,1이고, 더하면 10쌍 전부다.
합이 같은 쌍들은 세르지오 입장에서 구별되지 않으므로 한 묶음으로 세면 된다.
7.SP.C.8Make A Systematic List유리한 결과 더하기
각 합을 쌍의 개수로 가중해 더하면 7+6+10+8+6+2+1 = 40가지가 유리하다.
각 묶음이 자기 크기에 자기 승리 개수를 곱한 만큼 기여하므로, 열 번의 확인 대신 짧은 덧셈 하나로 끝난다.
5.NBT.B.5Identify Subproblems나누고 약분하기
따라서 확률은 40/100 = 2/5, 보기 (A).
세기로 이미 일이 끝났고, 마지막은 그 개수를 기약분수로 바꾸는 것뿐이다.
7.SP.C.7Identify Subproblems모든 결과의 확률이 같으면, 똑같이 행동하는 것끼리 묶어 한 번씩만 세라 — 확률은 유리한 것 나누기 전체이다.
- 확률이 같은 결과 모두 세기
- 주어진 합을 이기는 수의 개수
- 티나의 쌍을 합별로 묶기
- 유리한 결과 더하기
- 나누고 약분하기