AMC 10 · 2002 · #19
학년 9 algebra
답을 골라 클릭하세요.
f의 식은 없고 그림만 있는데, 방정식은 f를 자기 안에 한 번 더 감싸고 있다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 이 겹침을 푼다. 바깥쪽 f가 6에 도달해야 하므로, 먼저 f(t)=6을 만족하는 입력 t를 찾고, 그 다음에 그런 t를 만들어 내는 x를 찾는다. 도구 #4(변수 도입하기)는 t=f(x)라고 이름 붙여 이 과정을 구체화한다. 도구 #1(그림 그리기)은 거꾸로 쓰인다 — 그림은 이미 주어졌으므로, 네 꼭짓점을 읽어 각 조각을 자기 구간을 가진 일차식으로 바꾼다. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 문제를 f(x)=-2와 f(x)=1이라는 평범한 두 방정식으로 나누고, 각각을 조각마다 한 번씩 네 번 푼다. 마지막에 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 살아남은 해를 모아 중복도 누락도 없게 한다. 교점을 눈대중으로 세지 않고 조각 위에서 푸는 것이 개수를 정확하게 지켜 준다.
그래프를 네 개의 일차식으로 바꾸기
꼭짓점 사이 기울기로 네 개의 식이 나오고, 각각 [-7,5]의 제 구간에서만 성립한다.
두 꼭짓점이 직선 조각을 완전히 결정하므로, 선분으로 된 그림은 사실 짧은 식 목록이다.
8.F.B.4Draw A Diagram바깥쪽 f부터 벗겨내기
바깥 f를 벗기면 f(t)=6은 두 꼭대기 t=-2와 t=1에서만 성립한다.
x를 쫓기 전에 바깥쪽 f가 무엇을 받아야 하는지부터 알아내면, 나머지는 그 두 수를 찾는 일이다.
8.EE.C.7Work Backwards평범한 두 방정식으로 나누기
따라서 중첩된 방정식은 평범한 둘 f(x)=-2 또는 f(x)=1로 갈라진다.
합성은 규칙 두 개를 포개 놓은 것이므로, 바깥 규칙을 벗겨내면 이미 풀 줄 아는 방정식이 남는다.
9.F-IF.A.2Introduce A Variable각 조각에서 f(x)=-2 풀기
각 조각에서 f(x)=-2를 풀고 구간 안의 답만 남기면 해가 2개다.
일부 구간에서만 유효한 식은 그 구간 밖의 답을 내놓을 수 있으므로, 모든 해가 자기 자리를 증명해야 한다.
8.EE.C.7Identify Subproblems각 조각에서 f(x)=1 풀기
같은 방법으로 f(x)=1을 풀면 네 조각이 모두 살아남아 해가 4개다.
목표값 1은 낮아서 네 조각 모두가 지나가지만, -2는 그중 두 조각보다 아예 아래에 있다.
8.EE.C.7Identify Subproblems두 목록을 합쳐서 세기
함수는 두 목표를 동시에 낼 수 없으므로 개수는 더해져 6, 보기 (D).
한 함수의 서로 다른 출력에서 만들어진 경우들은 절대 충돌하지 않으므로, 개수를 빼지 않고 그대로 더한다.
서로 다른 두 안쪽 값에서 나온 근은 결코 겹칠 수 없으므로, 두 개수를 그냥 더하면 된다.
▸ 왜?
하나의 입력에는 하나의 출력만 있으므로, 어떤 x도 안쪽 함수를 두 목표와 동시에 같게 만들 수 없다.
▸ 왜?
두 근의 무리는 모든 해를 덮으면서 겹치지 않으므로, 크기를 더하면 각 해가 한 번씩 세어진다.
함수가 자기 안에 감싸여 있으면 바깥부터 풀어라. 바깥쪽 f가 받아야 할 값을 모두 찾은 뒤, 그 값을 만들어 내는 x를 찾아 나서면 된다.
- 그래프를 네 개의 일차식으로 바꾸기
- 바깥쪽 f부터 벗겨내기
- 평범한 두 방정식으로 나누기
- 각 조각에서 f(x)=-2 풀기
- 각 조각에서 f(x)=1 풀기
- 두 목록을 합쳐서 세기