AMC 10 · 2002 · #20

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

fraction-decimal-conversiongcdprime-factorization systematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-decimal-conversiongcd

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

순환소수 0.ab는 두 숫자 a와 b로 만들어지고, 둘이 동시에 9도 아니고 동시에 0도 아니다. 이것을 기약분수로 나타낼 때 분모로 나올 수 있는 값이 몇 가지인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

허용된 98개의 숫자 쌍을 하나씩 확인해도 답은 나오지만 구조를 낭비하는 셈이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 반복되는 묶음을 N=10a+b라 이름 붙이고, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 자리를 옮겨 빼서 끝없는 소수를 분수 N/99 하나로 접는다. 그러면 도구 #16(관점 바꾸기)이 질문을 분수에서 gcd(N,99)로 옮긴다. 약분은 분모를 그 최대공약수로 나누는 일이므로 분모는 언제나 99/gcd(N,99)이고, 결국 99의 약수일 수밖에 없다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 약수들을 적으면 상한이 나오지만 아직 답은 아니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 금지 조건이 막아 놓은 약수 하나를 걷어내고, 마지막으로 가장 자주 건너뛰는 단계인 도구 #6(추측하고 확인하기)을 쓴다. 살아남은 약수마다 실제 묶음을 하나씩 제시해야 개수가 가정이 아니라 증명이 된다.

1STEP 1

반복되는 묶음에 이름 붙이기

묶음을 N이라 하면 두 금지가 N=99와 N=0을 지워 1 ≤ N ≤ 98이 남는다.

N=10a+b, 1 ≤ N ≤ 98

2STEP 2

순환소수를 분수로 바꾸기

100을 곱해 빼면 꼬리가 상쇄되어 99x = N, 즉 x = N/99.

100x=N+x → 99x=N → x=N/99

3STEP 3

약분하고 분모를 지켜보기

약분은 최대공약수로 나누는 것이므로 분모는 항상 99/g, 곧 99의 약수다.

N/99=(N/g)/(99/g), g=gcd(N,99), 분모=99/g

4STEP 4

99의 약수 나열하기

99 = 3² · 11이므로 약수는 1, 3, 9, 11, 33, 99이고 상한은 여섯이다.

99=3² · 11, 약수 = {1,3,9,11,33,99}

5STEP 5

분모 1 지우기

분모 1은 99가 N을 나눠야 하는데 범위 안에서 불가능하다 — 이것이 두 금지가 지우는 경우다.

99/g=1 ⇔ 99 ∣ N ⇔ N∈{0,99} (둘 다 금지)

6STEP 6

나머지 다섯 개가 모두 나옴을 보이기

묶음 01, 03, 09, 11, 33이 나머지 다섯을 실현하므로 개수는 5, 보기 (C).

1/99, 1/33, 1/11, 1/9, 1/3 → 5 가지 분모 → (C)

정답

개수가 99의 약수 개수보다 정확히 하나 적게 나오는데, 이는 예상되는 모양이다. 약분은 어떤 약수에도 도달할 수 있고, 오직 극단적인 경우 — 분수가 정수로 무너지는 경우 — 만 막혀 있는데, 문제의 두 금지 조건이 막는 것이 바로 그것이다. 아무 묶음이나 골라 확인해도 목록과 맞는다. 묶음 45는 45/99=5/11로 분모가 11이고 이미 목록에 있다. 오답 보기는 모두 다른 대상을 세고 있다. (E) 9는 분모가 아니라 숫자를 센 것이고, (D) 8은 애초에 존재하는 약수 여섯 개보다도 큰 수이며, (B) 4는 다섯 개 중 하나를 빠뜨린 결과다. 가장 빠뜨리기 쉬운 것은 99 자신인데, 01처럼 어설퍼 보이지만 엄연히 허용되는 묶음에서만 나오기 때문이다.

💡핵심 정리

두 자리로 순환하는 소수는 모두 99분의 무엇이므로 약분된 분모는 반드시 99의 약수다. 그다음 그 약수들 중 어떤 것이 실제로 나오는지 하나씩 확인하면 된다.

반복되는 묶음에 이름 붙이기
순환소수를 분수로 바꾸기
약분하고 분모를 지켜보기
99의 약수 나열하기
분모 1 지우기
나머지 다섯 개가 모두 나옴을 보이기