AMC 10 · 2002 · #22

학년 10 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilitythirty-sixty-ninety-trianglearea-triangles extreme-principle ↑ 선수 지식: geometric-probabilitythirty-sixty-ninety-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 ABC는 C에서 직각이고, ∠ ABC = 60°, 빗변 AB = 10이다. 삼각형 내부에서 점 P를 무작위로 하나 고르고, B에서 P를 지나는 반직선을 늘여 변 AC와 만나는 점을 D라 하자. BD가 5√(2)보다 클 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2-\sqrt2}{2}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{3-\sqrt3}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{5-\sqrt5}{5}$

풀이 과정

전략 극단의 원리

BD ＞ 5√(2)는 부등식이고, 움직이는 점에 대한 부등식은 그 경계에서 판가름 난다. 이것이 도구 #14(극단의 원리)다. BD가 정확히 5√(2)가 되는 D의 위치를 딱 하나 찾으면, 그 점 하나가 삼각형을 이기는 쪽과 지는 쪽으로 갈라 준다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 분할을 눈에 보이게 한다 — B에서 그 경계점까지 그은 선분이 경계선이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 문제를 유한하게 만드는 수다. 묻는 것은 P지만 BD는 D의 위치에만 달려 있으므로, D에 대한 조건을 다시 P의 영역으로 옮긴다. 도구 #4(변수 도입하기)가 그 다리를 놓는다. 거리 CD에 이름을 붙이면 길이 조건이 부등식으로 바뀐다. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 남긴 일은 두 가지뿐이다. 30-60-90 삼각형의 변 길이를 구하는 일과 두 넓이를 비교하는 일이다.

1STEP 1

두 변의 길이 구하기

빗변이 10인 30-60-90 삼각형에서 두 변은 BC = 5, AC = 5√(3)이다.

BC = 10cos 60° = 5, AC = 10sin 60° = 5√(3)

2STEP 2

BD를 CD로 다시 쓰기

삼각형 BCD는 C에서 직각이므로 BD² = 25 + CD²이고 조건은 CD ＞ 5가 된다.

BD² = 25 + CD² ＞ 50 ⇔ CD² ＞ 25 ⇔ CD ＞ 5

3STEP 3

AC 위의 경계점 찾기

CD' = 5인 점 D'이 경계이고, 5 ＜ 5√(3)이므로 AC 위에 있다.

CD' = 5 → BD' = 5√(2); 5 ＜ 5√(3) = AC

4STEP 4

D의 조건을 P의 영역으로 옮기기

선분 BD'이 삼각형을 나누고, 반직선이 D' 너머에 닿는 것은 P가 삼각형 ABD' 안일 때다.

BD ＞ 5√(2) ⇔ P ∈ △ ABD'

5STEP 5

두 넓이 비교하기

꼭짓점 B와 같은 직선을 공유하므로 넓이의 비는 밑변의 비 AD'/AC이다.

[ABD']/[ABC] = AD'/AC = (5√(3)-5)/5√(3) = (√(3)-1)/√(3) = (3-√(3))/3

6STEP 6

확률 읽어내기

그 비를 정리하면 (3-√(3))/3, 약 0.423이고 보기 (C)이다.

P(BD ＞ 5√(2)) = (3-√(3))/3 ≈ 0.423 → (C)

정답

(3-√3)/3

(3-√(3))/3≈ 0.423은 확률이 마땅히 그래야 하듯 0과 1 사이에 있다. 또 1/2보다 조금 작아야 하는데 실제로 그렇다. 경계점은 CD' = 5인데 AC의 중점은 C에서 5√(3)/2≈ 4.33밖에 떨어져 있지 않으므로, D'은 중점을 지나 있고 이기는 조각 ABD'이 둘 중 작은 쪽이다. 선택지를 수치로 보면 (A) 0.293, (B) 0.333, (C) 0.423, (D) 0.500, (E) 0.553이라 (C)만 들어맞는다. 한 가지 함정은 짚어 둘 만하다. B에서의 각으로 확률을 재고 싶어지는데, ∠ D'BC = 45°이고 전체 ∠ ABC = 60°이니 15/60 = 1/4처럼 보인다. 이는 틀렸다. P는 넓이 위에 고르게 퍼져 있지 B에서 나가는 방향에 고르게 퍼져 있지 않기 때문이다. A에 가까운 부채꼴은 더 길어서 각이 시사하는 것보다 더 많은 넓이를 담는다. "내부에서 무작위로"라는 말이 요구하는 것은 각이 아니라 넓이의 비교다.

💡핵심 정리

조건이 아슬아슬하게 성립하는 딱 한 지점을 찾아 그 점을 지나는 선을 긋고, 이기는 쪽이 차지한 넓이의 몫을 확률로 읽어라.

두 변의 길이 구하기
BD를 CD로 다시 쓰기
AC 위의 경계점 찾기
D의 조건을 P의 영역으로 옮기기
두 넓이 비교하기
확률 읽어내기