AMC 10 · 2002 · #24
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a와 b로 쓰면 이 식은 2002제곱을 전개해서 얻는 거대한 실수 연립방정식이 된다. 정면으로 붙어서는 가망이 없다. 두 번의 재배열이 이것을 푼다. 첫째, a와 b는 언제나 a+bi와 a-bi라는 두 덩어리로만 나타나므로, z = a+bi로 이름 붙이면 실수 미지수 두 개가 복소수 미지수 하나로 바뀌고 문제는 z²⁰⁰² = z가 된다. 둘째, 진짜 걸림돌은 켤레다. 켤레는 전개할 수도, 인수분해할 수도 없다. 그러나 어떤 수와 그 켤레의 곱은 |z|²이라는 평범한 음이 아닌 실수로 무너진다. 그래서 양변에 z를 곱하면 식이 보통의 거듭제곱 방정식 z²⁰⁰³ = |z|²으로 바뀌고, 이 한 번의 곱셈이 개수를 셀 수 있게 만든다. 그다음부터는 z의 크기와 방향이 깔끔하게 갈라진다. 크기에 대한 식은 해가 둘뿐이고, 각각은 작은 부분 문제가 된다. 지수가 슬그머니 2002가 아니라 2003이 되는데 선택지는 바로 그 지점을 노리고 있으므로, 손으로 모든 해를 나열할 수 있는 작은 지수에서 결과를 검산해 둘 필요가 있다.
실수 미지수 둘을 복소수 하나로 바꾸기
두 미지수는 어떤 수와 그 켤레로만 나타나므로 z = a+bi라 두면 식은 z²⁰⁰² = z̄가 된다.
순서쌍 (a,b)와 수 a+bi는 같은 정보를 담고 있으므로, z로 바꿔도 해가 생기거나 사라지지 않는다.
11.N-CN.A.1Introduce A Variablez를 곱해 켤레를 지우기
양변에 z를 곱하면 켤레가 실수 절댓값이 된다: z²⁰⁰³ = |z|².
어떤 수와 그 켤레의 곱은 그저 길이의 제곱이라, 곱셈 한 번이 켤레 방정식을 거듭제곱 방정식으로 바꿔 준다.
양변에 z를 곱하면 켤레가 평범한 길이의 제곱이 되고 순수한 거듭제곱 방정식만 남는다.
▸ 왜?
복소수는 하나의 점이므로, 어떤 수에 그 켤레를 곱한 것은 원점에서의 거리의 제곱일 뿐이다.
▸ 왜?
그 곱은 같은 두 부분의 합과 차를 곱한 것이어서 가운데가 지워지고 두 제곱만 남는다.
크기부터 결정하기
크기를 맞추면 r²(r²⁰⁰¹-1) = 0이므로 r = 0 또는 r = 1, 나머지 평면은 사라진다.
길이는 길이대로 작은 방정식을 따르고, 양수를 아주 큰 지수로 올려서 제자리로 돌아오는 곳은 0과 1뿐이다.
9.A-SSE.A.2Identify Subproblemsr = 0인 경우
크기가 0인 경우는 원점뿐이므로 순서쌍 (0,0) 하나다.
원점은 엄청난 거듭제곱을 해도 제자리에 그대로 있는 유일한 자리다.
11.N-CN.A.1Identify Subproblemsr = 1인 경우: 1의 2003제곱근 세기
단위원 위에서는 식이 z²⁰⁰³ = 1이 되고 그 근은 2003개다.
거듭제곱은 각을 돌리는 일이고, 다시 1에 내려앉는다는 것은 정확히 몇 바퀴를 돌아 제자리로 왔다는 뜻이다.
12.N-CN.B.5Organize Information In More Ways두 경우 합치기
두 경우는 겹치지 않으므로 합은 1 + 2003 = 2004, 보기 (E).
실제로 개수를 지배하는 지수는 문제에 적힌 것보다 하나 큰 2003이고, 그 위에 원점이 해 하나를 더 얹는다.
11.N-CN.C.9Identify Subproblems어떤 수와 그 켤레가 섞인 식이 나오면 양변에 그 수를 곱해 보라. zz가 평범한 실수의 제곱으로 무너지고, 남는 것은 해를 셀 수 있는 보통의 거듭제곱 방정식이다.
- 실수 미지수 둘을 복소수 하나로 바꾸기
- z를 곱해 켤레를 지우기
- 크기부터 결정하기
- r = 0인 경우
- r = 1인 경우: 1의 2003제곱근 세기
- 두 경우 합치기