AMC 10 · 2002 · #25

학년 9 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

mean-median-mode-rangegraph-readingsign-analysis invariant-monovariant ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangegraph-reading

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

실수 계수를 가진 다항식 P에서 시작한다. 0이 아닌 계수를 모두 모아 평균을 구한 뒤, 0이 아닌 계수를 전부 그 평균값 하나로 바꾸어 새 다항식 Q를 만든다. 구간 -4 ≤ x ≤ 4에서 y = P(x)와 y = Q(x)를 함께 그린 그림이 될 수 있는 것은 다섯 개의 그림 중 어느 것인지 판단하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(graph A)

(B)

(graph B)

(C)

(graph C)

(D)

(graph D)

(E)

(graph E)

풀이 과정

전략 가능성 지우기

계산할 공식이 없고 P가 주어지지도 않으므로, 들어갈 길은 하나뿐이다. 어떤 P에 대해서도 P와 Q 사이에 늘 성립하는 사실을 찾아내고, 그것으로 다섯 그림을 검사하는 것이다. 평균은 수의 목록에서 거의 모든 것을 지워 버리므로, 찾아야 할 것은 평균이 지키는 것이다. 평균이 지키는 것은 총합이다. 평균이 m인 k개의 수의 합은 km이고, 이는 바뀌기 전의 합과 같다. 계수의 합은 그림의 성질처럼 보이지 않지만, x = 1을 대입하면 어떤 다항식이든 계수의 합이 되므로 지켜진 총합이 두 그래프가 공유하는 점 하나로 바뀐다. 문제의 전부가 여기에 있다. 두 곡선은 x = 1에서 만날 수밖에 없다. 두 번째 독립적인 검사는 Q를 써 보면 나온다. Q의 0이 아닌 계수는 전부 같은 수 m이므로 Q는 m에 거듭제곱들의 맨 합을 곱한 꼴이고, 양수 x에서 그 합은 양수다. 이것이 모든 그림의 오른쪽 절반 전체에서 Q의 부호와 진행 방향을 못 박는다. 마지막으로, 문제가 '될 수 있는가'를 묻고 있으므로 지우기만으로는 끝이 아니다. 살아남은 칸에는 실제로 P를 만들어 붙여야 한다.

1STEP 1

Q가 정확히 무엇인지 적기

Q는 P의 지수를 유지하고 계수만 하나로 통일된다: Q(x) = m(x^e₁ + … + x^e_k), 차수는 같다.

P(x)=Σ_j=1^k c_j x^e_j, m=(c₁+…+c_k)/k, Q(x)=mΣ_j=1^k x^e_j

2STEP 2

평균은 총합을 지킨다

평균이 지키는 것은 오직 총합 하나다: m을 k번 더하면 P의 계수 합과 같다.

m+m+…+m_k 개 = km = c₁+c₂+…+c_k

3STEP 3

총합을 두 그래프의 공통점으로 바꾸기

x = 1을 대입하면 그 총합이 공통점이 되어 모든 P에서 P(1) = Q(1)이 강제된다.

P(1)=Σ_j=1^kc_j, Q(1)=km=Σ_j=1^kc_j ⟹ P(1)=Q(1)

4STEP 4

x = 1에서 각 칸 검사하기

곡선이 만나는 자리를 확인하면 네 칸은 x = 1에서 만나지 않아 불가능하다.

(A): x ≈ ± 3.5, (C): x ≈ -2.7, x ≈ 0^-, (D): x ≈ -1.7, 2.6, (E): x ≈ -1.8

5STEP 5

x = 1을 보지 않는 두 번째 검사로 확인하기

두 번째 검사도 같은 결론이다: x가 양수면 Q는 m의 부호를 지키며 한 방향으로만 움직인다.

x ＞ 0 → x^e₁+…+x^e_k ＞ 0 → signQ(x)=signm, Q'(x)=mΣ_j e_j x^e_j-1

6STEP 6

남은 칸에 맞는 다항식 만들기

예시 P(x) = 2x⁴-3x²-3x-4는 m = -2를 주어 남은 칸을 실제로 만들므로 답은 (B)이다.

P(x)=2x⁴-3x²-3x-4, m=(2-3-3-4)/4=-2, Q(x)=-2(x⁴+x²+x+1), P(1)=Q(1)=-8

정답

(그래프 B)

만들어 낸 예는 그 칸을 대충이 아니라 세부까지 재현한다. 빼 보면 P(x) - Q(x) = 4x⁴ - x² - x - 2 = (x-1)(4x³+4x²+3x+2)이고, 삼차 인수의 도함수 12x²+8x+3은 판별식이 64 - 144 ＜ 0이므로 이 삼차식은 계속 증가하고 실근이 정확히 하나, x ≈ -0.82 근처에 있다. 따라서 두 곡선은 정확히 두 번, x ≈ -0.82와 x = 1에서 만난다. 원점 왼쪽에 하나, 표시된 눈금 위에 하나로 그림과 일치한다. 모양도 맞는다. P'(x) = 8x³ - 6x - 3의 실근은 x ≈ 1.05 근처 하나뿐이므로 P의 극솟값은 딱 하나이고 값은 약 -8.03으로 교점 바로 자리에 놓인다. Q는 x ≈ -0.39 근처에서 약 -1.57까지 올라갔다가 양쪽으로 떨어진다. 이 특징이 모두 그림에 보인다. 두 검사도 그저 나란히 서 있는 것이 아니라 서로를 뒷받침한다. x = 1 검사는 (A), (C), (D), (E)를 지우고 부호와 방향 검사는 따로 (A), (D), (E)를 지우므로, 한쪽 검사만으로는 살아남을 뻔한 칸은 (C)뿐인데 (C)는 첫 번째 검사에서 아주 큰 차이로 탈락한다.

💡핵심 정리

평균으로 고르게 만들어도 총합은 변하지 않고, x=1을 대입하면 다항식은 계수의 총합이 된다. 그래서 두 곡선은 x=1에서 만날 수밖에 없다.

Q가 정확히 무엇인지 적기
평균은 총합을 지킨다
총합을 두 그래프의 공통점으로 바꾸기
x = 1에서 각 칸 검사하기
x = 1을 보지 않는 두 번째 검사로 확인하기
남은 칸에 맞는 다항식 만들기