AMC 10 · 2002 · #10
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
35 가지 조합을 손으로 다 더하고 중복을 지워도 되지만 실수를 부른다. 그래서 세기 전에 수를 먼저 작게 만든다. 도구 #5(패턴 찾기)는 일곱 수가 3 씩 커진다는 것을 알아채는데, 이 문제 전체가 그 사실 위에 놓여 있다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 집합 {1,4,…,19}를 {0,1,2,3,4,5,6}으로 바꾸어, 서로 다른 한 자리 수 셋의 합 중 어떤 값이 나올 수 있는지라는 훨씬 쉬운 문제로 만든다. 그다음 도구 #14(극단의 원리)로 가장 작은 합과 가장 큰 합을 찾아 답이 넘을 수 없는 범위를 그린다. 그러나 그 범위는 위쪽 한계일 뿐이고 한계는 개수가 아니다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 건너뛰기 쉽고 틀리기 쉬운 부분을 맡는다. 범위 안의 값 하나하나에 대해 실제 선택을 하나씩 내보이는 일이다.
3 씩 오르는 걸음 알아채기
각 수는 앞보다 3 크므로 세 수의 합은 항상 3의 배수다.
집합의 모든 수가 같은 나머지를 가지면 더하기도 전에 합의 나머지가 정해진다.
집합의 모든 원소가 같은 나머지를 남기므로, 세 원소를 더한 값의 나머지는 미리 정해져 있다.
▸ 왜?
각 수를 온전한 3씩과 정해진 나머지로 가르는 방법은 정확히 하나뿐이다.
▸ 왜?
합은 세 부분을 더한 것이므로 온전한 3들은 함께 모이고, 나머지에 영향을 줄 수 있는 것은 세 개의 잉여뿐이다.
집합을 0부터 6 까지로 바꾸기
각 수를 1+3k로 쓰면 집합이 0부터 6까지가 되고 합은 3+3S가 된다.
모든 수가 공통으로 지고 있는 부분을 떼어 내면 답을 실제로 좌우하는 작은 집합만 남는다.
6.EE.A.2Solve An Easier Related ProblemS 하나에 합 하나, 그리고 S 의 울타리
합은 S에 따라 반드시 커지고 S는 3부터 15까지이므로 값은 많아야 13개다.
선택을 갈 수 있는 데까지 낮추고 높여 보면, 도달 가능한 모든 값이 그 두 극단 사이에 갇힌다.
6.EE.A.3Extreme Principle범위 안의 모든 합을 실제로 내보이기
세 계열의 선택이 12부터 48까지 모든 3의 배수를 만들므로 개수는 정확히 13, 보기 (A).
원소를 하나씩만 밀면 합이 3 씩 움직이므로, 선택의 사슬이 범위를 빈틈없이 훑는다.
7.SP.C.8Make A Systematic List가장 작은 합과 가장 큰 합을 찾으면 창문이 그려질 뿐이다. 그 창문이 개수가 되려면 안에 있는 값 하나하나에 대해 실제 선택을 보여야 한다.
- 3 씩 오르는 걸음 알아채기
- 집합을 0부터 6 까지로 바꾸기
- S 하나에 합 하나, 그리고 S 의 울타리
- 범위 안의 모든 합을 실제로 내보이기